n-ти член на редица

[justme.h]

Здравейте,
Малко помощ за следната задача, че съм забравила как се решават.
Намирете N-тия член на редица, която се образува по следното правило:
Ni = Ni-1 +2* Ni-2 - 2 * Ni-3
N1 = 1; N2 = 2; N3 = 3;

Благодаря предварително!

[Петър Евгениев]

чак сега видя раздела, опс

[pal702004]

Чрез корените на характеристическото уравнение $x^3=x^2+2x+2$, които са $-\sqrt 2,1,\sqrt 2$

След това се решава система от 3 линейни уравнения за намиране на коефициентите. Получава се

$N_i=2^{(i-4)/2}\left((2\sqrt 2-3)(-1)^{i+1}+2\sqrt 2+3\right)-1$

Което всъщност е

$2^{(i+1)/2}-1$ при нечетни $i$

$3\cdot 2^{(i-2)/2}-1$ при четни $i$

[Sup3rlum]

Искам да предложа един различен начин за решаване:

Ако вземем правилото и го превърнем в система, може да изглежда така:

$\begin{array}{|l} n_{i} = n_{i-1} + 2n_{i-2}-2n_{i-3}\\ n_{i-1}=n_{i-1} \\ n_{i-2}=n_{i-2}\end{array}$

Тази система можем да превърнем в матрична форма:

$\begin{pmatrix}n_i \\ n_{i-1} \\ n_{i-2}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}n_{i-1} \\ n_{i-2} \\ n_{i-3}\end{pmatrix}$

Където $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Ако приложим трансформацията $A$ $i-3$ пъти, ще получим:

$\begin{pmatrix}n_i \\ n_{i-1} \\ n_{i-2}\end{pmatrix}=A^{i-3}\begin{pmatrix}n_{3} \\ n_{2} \\ n_{1}\end{pmatrix}$

Чрез диагонализиране:

$A=PDP^{-1} \Rightarrow A^{i-3}=PD^{i-3}P^{-1}$

$P=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 1 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ 1 &1& 1\end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} & 0 \\ 0 &0& \sqrt{2}\end{pmatrix}, P^{-1}= \begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\ \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}} & -\frac{1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{2}-1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}+2}{4} & \frac{1}{2\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{2}+1}{2}\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}n_i \\ n_{i-1} \\ n_{i-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 1 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ 1 &1& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & (-\sqrt{2})^{i-3} & 0 \\ 0 &0& \sqrt{2}^{i-3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\ \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}} & -\frac{1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{2}-1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}+2}{4} & \frac{1}{2\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{2}+1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

От там се получава отговора който pal702004 е предоставил