Независими събития

[Гост]

Здравейте! Нужна ми е помощ с доказването на следното твърдение:
Да се докаже, че ако произволни събития [tex]A_{1 }, A_{2 }, A_{3 }, ..., A_{n }[/tex] са независими, то и [tex]\overline{A_{1 }}, \overline{A_{2 }}, \overline{A_{3 }}, ..., \overline{A_{n }}[/tex] (т.е. допълнението на всяко от тях) също са независими.
Знам, че след като [tex]A_{1 }, A_{2 }, A_{3 }, ..., A_{n }[/tex] са независими, то [tex]P(A_{1 } \cap A_{2 } \cap ... \cap A_{n }) = P(A_{1 })P(A_{2 })...P(A_{n })[/tex] и съответно трябва да докажа, че това е изпълнено и за допълненията им. Упътването е да се използва индукция. Знам, че има база, предположение и стъпка, но не знам как точно да го докажа. Може ли подробно решение с индукция? Много ще съм благодарна, ако ударите едно рамо!

[ptj]

Потърси закони на Де Морган. Те са за връзката между обединение, сечение и допълнение на множества.

[Гост]

Аз знам горе-долу какво представляват законите на Де Морган. Например [tex]P(\overline{A\cupB}) = P(\overline{A}\cap\overline{B})[/tex]
Моят въпрос е насочен по-скоро към индукцията - как ще стане конкретно за тази задача на стъпки.

[ptj]

1.)За едно събитие ти е изпълнено (очевидно).
2,)Нека ти е изпълненно за [tex]k[/tex] събития.
3.)Добавяш [tex]к+1[/tex]-во събитие и използваш това което си написала.
Т.е. факта, че са независими, означава, че условно можеш да запишеш първите [tex]к[/tex] като едно събитие, а към негода добавиш [tex]k+1[/tex] и да разпишеш резултата, т.е. да докажеш искането за [tex]к+1[/tex] събития.

После от ПМН и [tex]1.),2.),3.) \Rightarrow[/tex] искания резултат е верен за [tex]n\in N[/tex] събития .

Другия вариант : Директо използване за законите на Де Морган за [tex]n\in N[/tex] на брой множества.