12та задача

[Гост]

20200813_135219.jpg (58.09 KiB) Прегледано 447 пъти

Здравейте. Моля ви помогнете за 12 та задача обяснете ми аз мога да решавам детерминанти но това не го знам
.моля ви помогнете ❤❤❤❤❤

[Гост]

Ако още веднъж публикуваш задачата - ще ти е за пръв път

[Гост]

Решение на зад. 12 при $n=3$.

При $n=3$, $\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1-q^3}{1-q}=1+q+q^2$.
Ето защо матрицата
[tex]\left(\frac{1-a_i^3 b_j^3}{1-a_i b_j}\right)_{i,j=1\dots 3}=\left(\begin{array}{lll}
1+a_1 b_1+a_1^2 b_1^2 & 1+a_1 b_2+a_1^2 b_2^2 & 1+a_1 b_3+a_1^2 b_3^2 \\
1+a_2 b_1+a_2^2 b_1^2 & 1+a_2 b_2+a_2^2 b_2^2 & 1+a_2 b_3+a_2^2 b_3^2 \\
1+a_3 b_1+a_3^2 b_1^2 & 1+a_3 b_2+a_3^2 b_2^2 & 1+a_3 b_3+a_3^2 b_3^2
\end{array}\right)[/tex]
и съгласно правилото за умножение на матрици "ред по стълб"
[tex]\left(\frac{1-a_i^3 b_j^3}{1-a_i b_j}\right)_{i,j=1\dots 3}=\left(\begin{array}{lll}
1 & a_1 & a_1^2 \\
1 & a_2 & a_2^2 \\
1 & a_3 & a_3^2
\end{array}\right)\;.\;
\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
b_1^2 & b_2^2 & b_3^2
\end{array}\right)[/tex]
Прилагат се теоремите (тук [tex]\mathbf {A}[/tex] и [tex]\mathbf {B}[/tex] са квадратни матрици):

• детерминантата на произведение на квадратни матрици [tex]det{{\mathbf {AB}}}=det{{\mathbf {A}}}det{{\mathbf {B}}}[/tex]
• детерминантата на транспонирана квадратна матрица [tex]det{({\mathbf {A}^T})}=det{{\mathbf {A}}}[/tex]

и се получава, че детерминантата от зад. 12 е равна на произведение на две детерминанти на Вандермонд.

[Гост]

Зощо се решава задачата при ен равно на 3

[KOPMOPAH]

Зощо се решава задачата при ен равно на 3

Показана ти е логиката на решението на задачата.
Остана да съобразиш, че всеки елемент на матрицата $a_{ij}$ е геометрична прогресия, чиято сума се дава с формулата $\frac {1-q^n}{1-q}$ или:$$a_{ij}=\sum_{k=0}^{n-1 }a_i^kb_j^k=1+a_ib_j+a_i^2b_j^2+\cdots+a_i^{n-1}b_j^{n-1}$$