Кога мога и кога не мога да използвам правилото на Лопитал?

[Skygear]

Наскоро решавах прости задачи за пресмятане на границата. Тъй като решавам задачи за училищна подготовка 2-ро равнище, знаех че могат сравнително лесно да се пресметнат с алгебра ... обаче мене ме мързи и си викам айде да им ударя един Лопитал и да не се занимавам (става дума за граници, които на пръв поглед са [tex]\frac{0}{0}[/tex] или [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex]). Силно бях изненадан обаче, когато правилито сякаш ми заби нож в гърба, и не ми даде правилните отговори. Отдолу са задачите, на които го пробвах (разбира се, пробвах го само на тези, които всъщност биха го изисквали на пръв поглед) Имаше 1-2 верни но останалите не се получиха. Особено тези с тригонометрията.

[Davids]

Принципно тези проблеми се появяват, когато понякога хората удобно забравят или пропускат привидно досадните излишни детайлчета във формулировката на правилото на Лопитал, които обаче са там с причина.
Аз обаче на пръв поглед не виждам проблеми с тези задачи, може би имам подозрения къде се чупи работата, но ще е добре да напишеш къде и как точно прилагаш правилото, за да може да помогнем с объркването. Иначе съветът ми е: отваряш учебника или който ти е източника (за предпочитане проверен и доверен източник), четеш внимателно и се чудиш кое от изискванията не е било изпълнено, за да не се получат нещата. За няколкото века, откакто е формулирано, иначе май си работи.

[KOPMOPAH]

Ето един пример, който трябва да хвърли светлина върху въпроса:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2}$$
Имаме неопределеност от вида $\frac{\infty}{\infty}$. Диференцираме числителя и знаменателя, както ни е учил Лопитал и получаваме:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2}=\lim_{x \to \infty}\frac{2x+\cos x}{2x}$$
Отново имаме неопределеност от вида $\frac{\infty}{\infty}$. Пак диференцираме числителя и знаменателя, в резултат получаваме:
$$\lim_{x \to \infty}\frac{2-\sin x}{2}$$
И тук с досада отбелязваме, че при $x \to \infty$ функцията $\sin x$ няма граница...

Пробваме по друг начин:$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2}=\lim_{x \to \infty}\frac{x^2}{x^2}+\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{x^2}$$
Доколкото $|\sin x| \le 1$ второто събираемо е нула и:$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2}=1+0=1$$

Извод: Правилото на Лопитал е приложимо, само ако съществува граница на отношението на производните. В случаи като примера по-горе не е целесъобразно да се използва това правило. Когато във функцията има и тригонометрия (както си отбелязал), трябва да се внимава.

Скрит текст: покажи

Ако качиш по-свястна снимка или напишеш как си решавал, може и да коментираме задачите

[Skygear]

Решавах ги преди около седмица и сега се сетих да питам. Преди малко се върнах, и явно проблемът е бил, че не съм диференцирал достатъчно внимателно . Сега само на [tex]\lim{x\to 0} \frac{sin(x) - tg(x)}{x^3}[/tex] и [tex]\lim{x\to 0} \frac{cos(3x) - cos(5x)}{xtg(7x)}[/tex] имам проблеми, сигурно пак заради калпаво диференциране. Ако може да драснете едно решение с Лопитал ще съм благодарен.

[Davids]

Калпавото диференциране ще мине, стига да го третираш сравнително редовно с крем против калпавост - практика
Иначе за тези граници Лопитал не е най-удобният инструмент, поне според мен. Макар и да изглежда примамливо удобен с формулировката си, в някои случаи е по-скоро автогол.
Втората граница сме разписвали вече тук с колегата КОРМОРАН. А същата спомената основна граница в темата (в моето решение тази де, с $1-cosx$ която е), всъщност те спасява и в първата задача, плюс малко други основни граници. Ако все пак си ентусиаст за Лопитал де, мога да разпиша и тези развития малко по-късно, но си мисля, че без основните граници пак няма да минем
Ако имаш още въпроси, въпросирай смело

[S.B.]

[tex]\lim{x\to 0} \frac{sin(x) - tg(x)}{x^3}[/tex] и [tex]\lim{x\to 0} \frac{cos(3x) - cos(5x)}{xtg(7x)}[/tex] имам проблеми, сигурно пак заради калпаво диференциране. Ако може да драснете едно решение с Лопитал ще съм благодарен.

Лопитал не е винаги е подходящ,особено за тригонометрични функции.Предлагам друго решение

Преработвам:

[tex]\displaystyle \frac{sinx - tgx}{x^{3}} = \displaystyle\frac{sinx - \displaystyle\frac{sinx}{cosx}}{x^{3}} = \displaystyle\frac{sinx.cosx - sinx}{x^{3}.cosx} = \displaystyle\frac{sinx(cosx - 1)}{x^{3}cosx} = \displaystyle\frac{-2 sinx(1 - cosx)}{x^{3}.cosx} = \displaystyle\frac{-2sinx.sin^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}{x^{3}.cosx} = -2.\displaystyle\frac{sinx}{x}.\displaystyle\frac{sin^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}{x^{2}}.\displaystyle\frac{1}{cosx} = -2.\displaystyle\frac{sinx}{x}. \displaystyle\frac{1}{cosx}. (\displaystyle \frac{sin\displaystyle\frac{x}{2}}{x})^{2}= -2.\displaystyle\frac{sinx}{x}.\displaystyle\frac{1}{cosx}. (\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}.sin\displaystyle\frac{x}{2}}{\displaystyle\frac{x}{2}})^{2}[/tex]
Сега се получава:
$\lim_{x \to 0}\frac{sinx - tgx}{x^{3}} = \lim_{x \to 0}-2.\frac{sinx}{x}.\frac{1}{cosx}.\frac{1}{4}.(\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^{2} = -2.1.1.\frac{1}{4}.1 = - \frac{1}{2}$

[Skygear]

Благодаря!