Задачи - приложна математика

[Гост]

Екранна снимка 2021-11-30 152509.png (245.53 KiB) Прегледано 2503 пъти

Здравейте,
бихте ли ми помогнали с решението на следните задачи (ако може по-подробно за да разбера нещата)
Благодаря!

[KOPMOPAH]

За да решиш първата задача трябва да знаеш:

Ако $A = [a_{i,j}]$ и $B = [b_{i,j}]$ са матрици с еднакви размери, то сума на матриците $A$ и $B$ се нарича матрицата
$A + B = [a_{i,j} + b_{i,j}]$. Матриците се сумират поелементно.

Ако $A = [a_{i,j}]$ е матрица и $\lambda$ е число, то произведение на матрицата $A$ с числото $λ$ е матрицата
$λA = Aλ = [λa_{i,j}]$ или казано по-простичко при умножаване на матрица с число всички елементи на матрицата се умножават с това число.

По условие $$A=\begin{Vmatrix} x & y\\ p & q \end{Vmatrix};~~B=\begin{Vmatrix} 2p-1 & q\\ 3x & 1-y \end{Vmatrix}$$Тогава $$2A=\begin{Vmatrix} 2x & 2y\\ 2p & 2q \end{Vmatrix};~~2B=\begin{Vmatrix} 2(2p-1) & 2q\\ 2(3x) & 2(1-y) \end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} 4p-2 & 2q\\ 6x & 2-2y \end{Vmatrix}$$ $$A+2B=\begin{Vmatrix} x+4p-2 & y+2q\\ p+6x & q+2-2y \end{Vmatrix}$$ $$2A+B=\begin{Vmatrix} 2x+2p-1 & 2y+q\\ 2p+3x & 2q+1-y \end{Vmatrix}$$За да бъде изпълнено $$A+2B=2A+B$$трябва$$\begin{Vmatrix} x+4p-2 & y+2q\\ p+6x & q+2-2y \end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} 2x+2p-1 & 2y+q\\ 2p+3x & 2q+1-y \end{Vmatrix}$$От последното равенство съставяме линейната система с четири неизвестни $$\begin{array}{|l} x+4p-2 = 2x+2p-1 \\ y+2q = 2y+q \\p+6x = 2p+3x\\q+2-2y = 2q+1-y \end{array}$$и след решаването ѝ намираме търсените стойности.

[KOPMOPAH]

За втората задача трябва да се знае (или прочете някъде - лекции, Интернет, фейсбук ), че ако са известни координатите на върховете на един триъгълник $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ и $C(x_3;y_3)$, то лицето може да бъде намерено по формулата$$S=\frac 12\big(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\big)$$ или $$S=\frac 12\begin{vmatrix} x_1& y_1&1\\ x_2& y_2&1\\x_3& y_3&1 \end{vmatrix}$$

В тази задача координатите, обаче, НЕ СА ИЗВЕСТНИ
Тогава се съставят системи от уравненията на правите, върху които лежат страните на триъгълника. Върховете на триъгълника са пресечените точки на правите, т.е. решенията на двете системи линейни уравнения$$\begin{array}{|l} x + y - 3=0 \\ x - y+1=0 \end{array}$$ $$\begin{array}{|l} x + y - 3=0 \\ 3x - y-5=0 \end{array}$$

[KOPMOPAH]

За третата задача трябва да се знае, че в инфлексната точка втората производна е $0$. Имаме$$f(x)=ax^3+bx^2,~~f'(x)=3ax^2+2bx,~~f''(x)=6ax+2b$$Значи$$f(1)=a.1^3+b.1^2=3, a+b=3$$ $$f''(1)=6a.1+2b=0$$Съставяме системата$$\begin{array}{|l}a+b=3 \\ 6a+2b=0 \end{array}$$от която намираме търсените стойности за $a$ и $b$.

[Гост]

За втората задача трябва да се знае (или прочете някъде - лекции, Интернет, фейсбук ), че ако са известни координатите на върховете на един триъгълник $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ и $C(x_3;y_3)$, то лицето може да бъде намерено по формулата$$S=\frac 12\big(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\big)$$ или $$S=\frac 12\begin{vmatrix} x_1& y_1&1\\ x_2& y_2&1\\x_3& y_3&1 \end{vmatrix}$$

В тази задача координатите, обаче, НЕ СА ИЗВЕСТНИ
Тогава се съставят системи от уравненията на правите, върху които лежат страните на триъгълника. Върховете на триъгълника са пресечените точки на правите, т.е. решенията на двете системи линейни уравнения$$\begin{array}{|l} x + y - 3=0 \\ x - y+1=0 \end{array}$$ $$\begin{array}{|l} x + y - 3=0 \\ 3x - y-5=0 \end{array}$$

Във втората задача след като реша двете системи се получава (1,2) и (2,1). Какво следва след това,как да намеря лицето?

[Гост]

За третата задача трябва да се знае, че в инфлексната точка втората производна е $0$. Имаме$$f(x)=ax^3+bx^2,~~f'(x)=3ax^2+2bx,~~f''(x)=6ax+2b$$Значи$$f(1)=a.1^3+b.1^2=3, a+b=3$$ $$f''(1)=6a.1+2b=0$$Съставяме системата$$\begin{array}{|l}a+b=3 \\ 6a+2b=0 \end{array}$$от която намираме търсените стойности за $a$ и $b$.

В третата задача как намерихме,че f(1)=3, a+b=3. Всъщност,след израза „значи", не разбрах как се получават нещата.
Ако споделите малко „тайните" ще съм благодарен

[Гост]

Ако си прочетеш внимателно условието на задачата ще разбереш ,че за $x = 1 ,f(x) = 3$.Няма тайни човекът.Всяко нещо е написано някъде,просто трябва да се прочете.

[Гост]

zashto gi otbeljazvat matricite s dvojni cherti?

[Гост]

Ако си прочетеш внимателно условието на задачата ще разбереш ,че за $x = 1 ,f(x) = 3$.Няма тайни човекът.Всяко нещо е написано някъде,просто трябва да се прочете.

Питам Корморан, а не вас !

[KOPMOPAH]

zashto gi otbeljazvat matricite s dvojni cherti?

Az gi otbeljazvam s dvojni cherti zashtoto taka e v uslovieto.
Има различни начини за отбелязване на матрици, което не променя смисъла им.

[KOPMOPAH]

...В третата задача как намерихме,че f(1)=3, a+b=3...

Става дума за точка с координати $(1;3)$. Това ще рече, че когато $x$ е $1$, тогава $f(x)$ е $3$. Заместваме във формулата за $f(x)$: $$f(x)=ax^3+bx^2 \Rightarrow f(1)=a.1^3+b.1^2 =a+b$$ $$ f(1)=3 \Rightarrow a+b=3$$

[Гост]

zashto gi otbeljazvat matricite s dvojni cherti?

Az gi otbeljazvam s dvojni cherti zashtoto taka e v uslovieto.
Има различни начини за отбелязване на матрици, което не променя смисъла им.

s dvojni cherti ne sum gi sreshtal nikude-mozhe nekoi da si pomisli, che stava vupros za determinanti

[KOPMOPAH]

Според мен детерминантите не се отбелязват с двойни черти.

А ако се случи така, че "nekoi da si pomisli, che stava vupros za determinanti" нека ги смята (с учебна цел)...

[ammornil]

zashto gi otbeljazvat matricite s dvojni cherti?
Az gi otbeljazvam s dvojni cherti zashtoto taka e v uslovieto.
Има различни начини за отбелязване на матрици, което не променя смисъла им.
s dvojni cherti ne sum gi sreshtal nikude-mozhe nekoi da si pomisli, che stava vupros za determinanti

[tex]\left \| \begin{array}{l} a_{_{1,1}} \ a_{_{1,2}} \ a_{_{1,3}} \ \\ a_{_{2,1}} \ a_{_{2,2}} \ a_{_{2,3}} \ \\ a_{_{3,1}} \ a_{_{3,2}} \ a_{_{3,3}} \ \end{array} \right \|[/tex] [tex]\equiv[/tex][tex]\left ( \begin{array}{l} a_{_{1,1}} \ a_{_{1,2}} \ a_{_{1,3}} \ \\ a_{_{2,1}} \ a_{_{2,2}} \ a_{_{2,3}} \ \\ a_{_{3,1}} \ a_{_{3,2}} \ a_{_{3,3}} \ \end{array} \right )[/tex]

Тези от нас които са живели в миналото хилядолетие, помнят времето когато матриците се бележеха с двойни черти.

Детерминантите се бележат с единични черти.
[tex]\left | \begin{array}{l} a_{_{1,1}} \ a_{_{1,2}} \ a_{_{1,3}} \ \\ a_{_{2,1}} \ a_{_{2,2}} \ a_{_{2,3}} \ \\ a_{_{3,1}} \ a_{_{3,2}} \ a_{_{3,3}} \ \end{array} \right |[/tex]

Ако не ме лъже паметта, матрицата е таблица от кофициентите на система линейни ограничения, а детерминантата е число, получено от елементите на квадратна матрица, чрез прилагане на определени правила. Но, както казах, това беше миналото хилядолетие, когато пследно учих линейна алгебра.

[Гост]

Според мен детерминантите не се отбелязват с двойни черти.

А ако се случи така, че "nekoi da si pomisli, che stava vupros za determinanti" нека ги смята (с учебна цел)...

da de, s edinichni cherti sa, no nekoi mozhe da se oburka, che e nekva norma, demek determinanta

[Гост]

За втората задача трябва да се знае (или прочете някъде - лекции, Интернет, фейсбук ), че ако са известни координатите на върховете на един триъгълник $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ и $C(x_3;y_3)$, то лицето може да бъде намерено по формулата$$S=\frac 12\big(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\big)$$ или $$S=\frac 12\begin{vmatrix} x_1& y_1&1\\ x_2& y_2&1\\x_3& y_3&1 \end{vmatrix}$$

В тази задача координатите, обаче, НЕ СА ИЗВЕСТНИ
Тогава се съставят системи от уравненията на правите, върху които лежат страните на триъгълника. Върховете на триъгълника са пресечените точки на правите, т.е. решенията на двете системи линейни уравнения$$\begin{array}{|l} x + y - 3=0 \\ x - y+1=0 \end{array}$$ $$\begin{array}{|l} x + y - 3=0 \\ 3x - y-5=0 \end{array}$$

За втората задача не получих отговор на въпроса:
След като реша двете системи се получава (1,2) и (2,1). Какво следва след това,как да намеря лицето?
Благодаря!

[KOPMOPAH]

Разграничавам се от собственото си мнение по-горе! След поправките в червено би трябвало да изглежда така:

...
В тази задача координатите, обаче, НЕ СА ИЗВЕСТНИ
Тогава се съставят системи от уравненията на правите, върху които лежат страните на триъгълника. Върховете на триъгълника (които са общо ТРИ) са пресечените точки на правите, т.е. решенията на $\cancel{двете}$ ТРИТЕ системи линейни уравнения$$\begin{array}{|l} x + y - 3=0 \\ x - y+1=0 \end{array}$$ $$\begin{array}{|l} x + y - 3=0 \\ 3x - y-5=0 \end{array}$$ $$ \red{\begin{array}{|l} 3x - y - 5=0 \\ x - y+1=0 \end{array}}$$

Решенията на последната (червената) система са $(3;4)$.

Тогава заместваме в някоя от формулите за лице по-горе с получените стойности за координатите на трите върха. Например$$S=\frac 12 \begin{vmatrix} x_1&y_1&1 \\ x_2&y_2&1 \\x_3&y_3&1 \end{vmatrix}=\frac12 \begin{vmatrix} 1&2&1 \\ 2&1&1 \\3&4&1 \end{vmatrix}=\frac 12.\underbrace{(1.1.1 + 2.1.3 + 1.2.4 - 1.1.3 - 2.2.1 - 1.1.4 )}_{=4}= \frac 12.4=2$$