Едно уравнение с параметър

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, при които уравнението
[tex]\frac{|x-2|(x-3)}{ x^{2 } -2x-3}=a[/tex]
има единствено решение

[Гост]

tva inache se naricha elementarna algebra

[S.B.]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, при които уравнението
[tex]\frac{|x-2|(x-3)}{ x^{2 } -2x-3}=a[/tex]
има единствено решение

[tex]\frac{|x - 2|(x - 3)}{ x^{2 } - 2x -3 } = a \Leftrightarrow \frac{|x - 2|(x - 3)}{(x + 1)(x - 3)} = a[/tex]
Д.М. [tex]x \ne - 1 , x \ne 3[/tex]

[tex]\frac{|x - 2|(x - 3)}{(x + 1)( x - 3)} = a \Leftrightarrow |x - 2|(x - 3) = a(x + 1)(x - 3) \Leftrightarrow |x - 2|(x - 3) - a(x + 1)(x - 3) = 0 \Leftrightarrow[/tex]

$(x - 3)[|x - 2|- a(x + 1)] = 0$
[tex]x - 3 \ne 0 \Rightarrow |x - 2| - a(x + 1) = 0 \Leftrightarrow[/tex]
$$|x - 2| = a(x + 1)$$
[tex]|x - 2| = a(x + 1) \Leftrightarrow \begin{cases} (x - 2) = a(x + 1)\\- (x - 2) = a(x + 1) \end{cases}[/tex]

1) [tex](x - 2) = a(x + 1) \Leftrightarrow (a - 1)x = -(a + 2)[/tex]
Нека [tex]а - 1= 0 \Rightarrow а = 1[/tex]
[tex](а - 1)x = -(a + 2) \Leftrightarrow 0x = -3 \Rightarrow[/tex] за $a = 1$ няма решение
Нека [tex]a - 1 \ne 0 \Rightarrow a \ne 1[/tex]
[tex](a - 1)x = -(a + 2) \Leftrightarrow x = \frac{-(a + 2)}{a - 1}[/tex]
Според Д.М. [tex]x \ne -1 , x \ne 3[/tex]
Нека [tex]\frac{-(a + 2)}{(a - 1) } = - 1 \Leftrightarrow -a-2 =-a + 1 \Leftrightarrow 0.a = 3 \Rightarrow[/tex] няма решение
Нека [tex]\frac{-(a + 2)}{(a - 1)} = 3 \Leftrightarrow -a-2 = 3a -3 \Leftrightarrow 4a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{4}[/tex]

Получи се за [tex]a \ne 1[/tex] и [tex]a \ne \frac{1}{4}[/tex] уравнението има корен [tex]x = \frac{-(a + 2)}{(a - 1)}[/tex]

2) [tex]-(x - 2) = a(x + 1) \Leftrightarrow (a + 1)x = 2 - a[/tex]
Нека [tex]a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1[/tex]
[tex](a + 1)x = 2 -a \Leftrightarrow 0.x = 3 \Rightarrow[/tex] няма решение
Нека [tex]а + 1 \ne 0 \Rightarrow а \ne -1[/tex]
[tex](a + 1)x = 2 - a \Leftrightarrow x = \frac{2 - a}{a + 1}[/tex]
Съобразяваме с Д.М. на $x$
[tex]\frac{2 - a}{a + 1} = -1 \Leftrightarrow 0.a = -3[/tex] няма решение
[tex]\frac{2 -a}{а + 1} = 3 \Leftrightarrow 4a = -1 \Rightarrow a = - \frac{1}{4}[/tex] за [tex]a = - \frac{1}{4}[/tex] няма решение

Получи се, за [tex]a \ne - 1[/tex] и [tex]a \ne - \frac{1}{4}[/tex]уравнението има корен [tex]x = \frac{2 -a}{a + 1}[/tex]

Отговор:
1) за [tex]a \ne 1[/tex] и [tex]a \ne \frac{1}{4} , x = \frac{-(2+a)}{a - 1}[/tex]
2) за [tex]a \ne - 1[/tex] и [tex]a \ne - \frac{1}{4} , x = \frac{2 - a}{a + 1}[/tex]