Окръжности

[Гост]

Окръжностите [tex]k_{1 }[/tex] и [tex]k_{2 }[/tex] се допирът вътрешно до окръжност k съответно в точките M и N. Правата PQ (P[tex]\in k_{1 }[/tex], Q[tex]\in k_{2 }[/tex]) е обща вътрешна допирателна за [tex]k_{1 }[/tex] и [tex]k_{2 }[/tex]. Нека MP[tex]\cap[/tex]k=A, а NQ[tex]\cap[/tex]k=B. Докажете, че отсечката AB е диаметър на окръжността k.

[Гост]

napravi purvo chertezha...

[Гост]

napravi purvo chertezha...

Ne purvo a parwo I ne chertezha a 4erteja

[KOPMOPAH]

Окръжности.png (18.75 KiB) Прегледано 362 пъти

Ето един chertezh. По-късно ще пратя и решението.

[Гост]

chekaj purvo chovekut da kazhe kakvo misli po zadachata...

[KOPMOPAH]

Ето моето решение

Скрит текст: покажи

Разглеждаме $\triangle O_1MP$ и $\triangle OMA$. Те са равнобедрени, съответните радиуси на $k_1$ и $k$ са им бедра. Имат общ $\measuredangle O_1MP$, следователно вторите ъгли при основите им също са равни - $\measuredangle MPO_1=\measuredangle MAO$. От там следва, че $O_1P||OA$, но $O_1P\bot PQ$, следователно $OA \bot PQ$. Аналогично се доказва, че $BO \bot PQ$. В крайна сметка през т.$O$ минават два радиуса, които са перпендикулярни на $PQ$, следователно $AB$ е диаметър.