Модули

[Гост]

Ще може ли да ми обясните тази задача:

модули.png (101.24 KiB) Прегледано 1394 пъти

[S.B.]

[tex]\frac{1 + \log_{ \sqrt{2} } \sqrt{x + 4} + \log_{ \frac{1}{2} }(13 - x) }{| x^{2 } + 2x - 3| - |2 x^{2 } - 10x + 8| } \ge 0 \Leftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)} \ge 0[/tex]
За по- малко писане означавам числителя с $ f(x)$ , а знаменателя $g(x)$
Ще преработя числителя:
[tex]f(x) = 1 + \log_{ \sqrt{2} } \sqrt{x + 4} + \log_{ \frac{1}{2} }(13 - x) =[/tex]
[tex]= \log_{2 }2 + \frac{ \log_{2 } \sqrt{x + 4} }{ \log_{2 } 2^{ \frac{1}{2} } } + \frac{ \log_{2 }(13 - x) }{ \log_{2 } 2^{-1 } } = \log_{2 } 2 + 2 \log_{2 } \sqrt{x + 4} - \log_{2 }(13 - x) \Rightarrow[/tex]
$$f(x) = \log_{2 } \frac{2(x + 4)}{13 - x} $$
Образувам:
[tex]\begin{array}{|l} \log_{2 } \displaystyle\frac{2(x + 4)}{13 - x} \ge 0\\ \displaystyle\frac{2(x + 4)}{13 - x)} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \displaystyle\frac{2(x + 4)}{13 - x} \ge 1\\ x \in (- 4 ; 13) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}\displaystyle \frac{2(x - 4,5)}{13 - x} \ge 0\\ x \in (- 4 ; 13)\end{array}[/tex]
Дефиниционното множество за $f(x)$ е [tex]x \in ( - 4 ; 13)[/tex]
Получи се,че за [tex]x \in (-4 ; 4,5)[/tex] числителя $f(x) < 0$
За $x = 4,5 $ числителя $f(x) = 0$
За [tex]x \in (4,5 ; 13)[/tex] числителя $f(x) > 0$
Ще разгледам знаменателя:
[tex]g(x) = | x^{2 } + 2x - 3| - |2 x^{2 } - 10x + 8| = |(x - 1)(x + 3)| - |(x - 1)(x - 4)|[/tex]
Изаразът в първия модул се анулира за $x = -3$ и $x = 1$ , а изразът във втория модул се анулира за $x = 1$ и $x = 4$,като тези стойности разделят полученото дефиниционно множество на $4$ подмножества,както следва:
Д.М.1 :[tex]x \in (-4;-3)[/tex]
Д.М.2 :[tex]x \in (-3 ; 1)[/tex]
Д.М.3 :[tex]x \in (1 ; 4)[/tex]
Д.М.4 :[tex]x \in (4 ; 13)[/tex]
Над всяко едно от тях ще разгледам неравенството:

1) Д.М.1 :

[tex]\begin{array}{|l} x \in (- 4 ; - 3)\\ f(x) < 0 \\g(x) = (x + 3)(x - 1) - 2(x - 4)(x - 1) = (x - 1)(11 - x)\end{array}[/tex]

За [tex]x \in (- 4 ; - 3)[/tex] знаменателят $g(x) < 0$
[tex]\Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \Rightarrow x \in (- 4;- 3)[/tex] е решение в този подинтервал.

2)Д.М.2:

[tex]\begin{array}{|l} x \in (- 3; 1)\\ f(x) < 0\\g(x) = -(x + 3)(x - 1) - 2(x - 4)(x - 1) = 3(x - 1)( \displaystyle\frac{5}{3} - x) \end{array}[/tex]

За [tex]x \in ( - 3 ; 1)[/tex] знаменателят $g(x) <0$
[tex]\Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)}> 0 \Rightarrow x \in (- 3 ; 1)[/tex] е решение в този подинтервал.

3)Д.М.3 :

[tex]\begin{array}{|l} x \in (1 ; 4 )\\ f(x) < 0 \\g(x) = (x + 3)(x - 1) + 2(x - 1)(x - 4) = 3(x - 1)(x - \displaystyle\frac{5}{3}) \end{array}[/tex]

За [tex]x \in (1 ; \frac{5}{3})[/tex] знаменателят $g(x) < 0$, за [tex]x \in ( \frac{5}{3}; 4)[/tex] знаменателят $g(x) >0$
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]x \in (1 ; \frac{5}{3}) , \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \Rightarrow x \in (1 ; \frac{5}{3} )[/tex] е решение в този подинтервал

4)Д.М.4:

[tex]x \in (4 ; 13)[/tex]
Както по горе получихме за [tex]x \in (4 ; 4,5)[/tex] числителят $f(x) < 0$ , за [tex]x \in [4,5 ; 13)[/tex] числителят [tex]f(x) \ge )[/tex]
За знаменателя $g(x)$ получавам:
[tex]g(x) = (x - 1)(x + 3) - 2(x - 1)(x - 4) = (x - 1)(11 - x)[/tex]
За [tex]x \in (4;4,5)[/tex] знаменателят $g(x) > 0$ [tex]\Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)} < 0[/tex] и тук няма решение
За [tex]x \in [4,5 ; 11 )[/tex] знаменателят $g(x)> 0$ , числителят [tex]f(x) \ge 0 \Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)} \ge 0[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in [4,5 ; 11)[/tex] е решение в този подинтервал.

Решението на неравенството е:
[tex]x \in (-4;-3) \cup (-3 ; 1) \cup (1 ; \frac{5}{3}) \cup [4,5 ; 11)[/tex]