Функционално уравнение с ограничена функция

[Kre4etalo]

Нека $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ е функция, която е ограничена в $[-2,0]$ и такава че за всяко реално число $x$ е изпълнено $$3f(2x+1)=f(x)+5x.$$
Да се намери $f$.

[peyo]

Нека $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ е функция, която е ограничена в $[-2,0]$ и такава че за всяко реално число $x$ е изпълнено $$3f(2x+1)=f(x)+5x$$
Да се намери $f$.

Ще използваме подход подобен на който намерих в книгата Функционални и диференциални уравнения Автор: Александър Кючуков, Петър Недевски :
https://knigolubie.com/index.php?id_product=28556&controller=product

на страница 17:


$3f(2x+1)=f(x)+5x$

Полагаме $2x+1 = t$


$f(t)= \frac{1}{3}f(\frac{t-1}{2})+ \frac{5t}{6} - \frac{5}{6} $

Прилагаме това равенство k пъти:

$f(t)= \frac{1}{3}(\frac{1}{3}f(\frac{\frac{t-1}{2}-1}{2})+ \frac{5\frac{t-1}{2}}{6} - \frac{5}{6})+ \frac{5t}{6} - \frac{5}{6} =\frac{1}{9}f(\frac{t-3}{4})+ \frac{35 t}{36} - \frac{5}{4} $

$f_2(t) = \frac{35 t}{36} + \frac{f{\left (\frac{t}{4} - \frac{3}{4} \right )}}{9} - \frac{5}{4}$

$f_3(t) = \frac{215 t}{216} + \frac{f{\left (\frac{t}{8} - \frac{7}{8} \right )}}{27} - \frac{305}{216}$

$f_4(t) = \frac{1295 t}{1296} + \frac{f{\left (\frac{t}{16} - \frac{15}{16} \right )}}{81} - \frac{635}{432}$

Когато k клони към безкрайност функцията ще стане:

[tex]\lim_{k \to \infty } f_k = t - a[/tex]

Където а прилича да клони към 1.5.

[tex]f(x) = x - 3/2[/tex]

Да намерим a и едновременно проверим отговора като заместим f във първоначалната функция:
$3f(2x+1)=f(x)+5x$

$3 ((2x+1) - 3/2) =x - 3/2+5x$

$6x+6 - 9/2) = - 3/2+6x$

$6x - 3/2 = - 3/2 + 6x$

$0=0$

Ok функцията [tex]f(x) = x - 3/2[/tex] е решение. Дали е единствено? Може би бякой ще каже. Александър Кючуков, Петър Недевски си мислят, че тяхното решение е единствено, но не казват явно. А ограниченеието [-2,0] никъде не съм го употребил, не съм сигурен дали има значение. Може би има защото в задачата на горните автори се иска x да е около нулата.

[peyo]

Ще използваме подход подобен на който намерих в книгата Функционални и диференциални уравнения Автор: Александър Кючуков, Петър Недевски :
https://knigolubie.com/index.php?id_product=28556&controller=product

на страница 17

За любопитните ето въпросната книга:

20220421_165030cp.jpg (620.89 KiB) Прегледано 1459 пъти

20220421_165154cc.jpg (464.14 KiB) Прегледано 1459 пъти

[Гост]

peyo, имаш ли подобни книжки на тема комплексни числа в геометрията?

[peyo]

peyo, имаш ли подобни книжки на тема комплексни числа в геометрията?

Аз лично нямам, но бърз сърч дава резултати, например това: https://ortograph.com/books/prilozhenie-na-kompleksnite-chisla-v-geometriyata-1988-26417

[Davids]

Нека адаптираме идеята от горната книжка и покажем защо намерената функция е единствено решение.

Водени от една страна от съмнително несиметричния даден интервал на ограниченост, а от друга страна от малко визуална интуиция по самото функционално уравнение, се сещаме да въведем новата функция:
$g(x) := f(x - 1)$

Щом като $f$ е ограничена за $x \in [-2, 0]$, то $g$ ще е ограничена за $x \in [-1, 1]$. А освен това, функционалното ни уравнение придобива вида:
$3g(2x + 2) = g(x + 1) + 5x$

Или еквивалентно след линейната смяна $x \mapsto \frac{x - 2}{2}$:
$3g(x) = g\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{5x - 10}{2}$

След разделяне на двете страни на 3, получаваме вече познатото по идея:

$g(x) = \frac{1}{3}g\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{5x - 10}{6}$

Започваме итеративно да прилагаме равенството:

$g(x) = \frac{1}{3}g\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{5x - 10}{6} = $

$= \frac{1}{3}\biggl[\frac{1}{3}g\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{5\frac{x}{2} - 10}{6}\biggr] + \frac{5x - 10}{6} = \frac{1}{9}g\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{5x - 2\cdot10}{36} + \frac{5x - 10}{6} = $

$= \frac{1}{9}\biggl[\frac{1}{3}g\left(\frac{x}{8}\right) + \frac{5\frac{x}{4} - 10}{6}\biggr] + \frac{5x - 2\cdot10}{36} + \frac{5x - 10}{6} = \frac{1}{27}g\left(\frac{x}{8}\right) + \frac{5x - 4\cdot10}{216} + \frac{5x - 2\cdot10}{36} + \frac{5x - 10}{6} = $

$= \stackrel{\text{след }n\text{ итерации}}{\dots} = \frac{1}{3^n}g\left(\frac{x}{2^n}\right) + \sum_{k=1}^n\frac{5x - 2^{k-1}\cdot10}{6^k}$

Знаем, че ако итеративният процес е сходящ, то $g(x) = \lim_{n\to\infty}\Biggl[\frac{1}{3^n}g\left(\frac{x}{2^n}\right) + \sum_{k=1}^n\frac{5x - 2^{k-1}\cdot10}{6^k}\Biggr]$

Сега следват аналогични наблюдения като от книжката по-горе: понеже $\frac{x}{2^n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$, от отнякъде нататък ще имаме $|\frac{x}{2^n}| \le 1$,
т.е. отнякъде нататък редицата $\biggl\{g\left(\frac{x}{2^n}\right)\biggr\}$ ще е ограничена.

И понеже $\frac{1}{3^n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$, то $\frac{1}{3^n}g\left(\frac{x}{2^n}\right) \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$

Е, остана да сметнем другата част от границата на итеративния процес, а именно:

$\sum_{k=1}^\infty\frac{5x - 2^{k-1}\cdot10}{6^k} = \sum_{k=1}^\infty\frac{5x - 2^k\cdot5}{6^k} = 5x\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{6^k} - 5 \sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^k = 5x\left(-1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{6}}\right) - 5\left(-1 + \frac{1}{1-\frac{1}{3}}\right) = x - \frac{5}{2}$

И така това е единственото решение за $g$, откъдето намираме и единственото решение на оригиналното уравнение: $\boxed{f(x) = x - \frac{3}{2}}$