Още една безкрайна сума

[nikola.topalov]

Как можем да докажем, че $$\sum_{n\in\mathbb{Z}} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\dfrac{\pi ^3}{16}$$

[grav]

Забелязваш, че
[tex]\sum_{n\in\mathbb{Z}} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=2\sum_{n\ge 0} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^3}[/tex]
и
[tex]\sum_{n\ge 0} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\beta(3)=2\cdot\frac{\pi^3}{32}[/tex]
където [tex]\beta(x)[/tex] е бета фунцията на Дирихле. Търсиш как се смятат стойностите на тази функция.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function