Комплексен анализ

[Гост]

Здравейте! От мен се иска да интегрирам функцията sin x/x^3+x от - безкрайност до + безкрайност с помищта на комплексен анализ. Може ли помощ?

[Гост]

razlozhi purvo na mnozhiteli znamenatelja

[nikola.topalov]

Да разгледаме функцията на комплексна променлива $$f(z)=\dfrac{e^{iz}}{z^3+z}$$ с полюси в точките [tex]z=0[/tex] и [tex]z=\pm i[/tex]. Ще работим по следния контур:

geogebra-export (1).png (34.29 KiB) Прегледано 1488 пъти

И така понеже [tex]z=i[/tex] попада вътре в нашия контур, то $$\oint_C f(z)dz=2\pi i \sum\mathrm{Res} f(z)=-\dfrac{\pi i}{e}$$
От друга страна същия криволинеен интеграл може да се представи като $$\oint_C f(z)dz=\int_{\gamma_1} f(x)dx+\int_{\gamma_2}f(z)dz+\int_{\gamma_3}f(x)dx+\int_{\Gamma} f(z)dz$$
Да видим сега. След извършване на полагането [tex]x\to -x[/tex] и съответно смяната на границите на интеграла заради минуса получаваме $$\int_{\gamma_1} f(x)dx=\int_{-R}^{-\epsilon} \dfrac{e^{ix}dx}{x^3+x}=-\int_{\epsilon}^{R} \dfrac{e^{-ix}dx}{x^3+x}$$ откъдето $$\int_{\gamma_1} f(x)dx+\int_{\gamma_3} f(x)dx=\int_{\epsilon}^R\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{x^3+x}dx=-\dfrac{2}{i}\int_{\epsilon}^R\dfrac{\sin x dx}{x^3+x}$$ заради известната формула [tex]\sin x=\dfrac{i}{2}(e^{-ix}-e^{ix})[/tex]. За интеграла по [tex]\gamma_2[/tex] ще използваме полагането [tex]z=\epsilon e^{i\theta}[/tex], където [tex]0\leq \theta\leq \pi[/tex]. Оттук [tex]dz=i\epsilon e^{i\theta}d\theta[/tex] и $$\int_{\gamma_2}f(z)dz=\int_{\pi}^0 \dfrac{\epsilon ie^{i\theta}e^{ie^{i\theta}}dz}{\epsilon e^{i\theta}(\epsilon e^{2i\theta}+1)}=i\int_{\pi}^0 \dfrac{e^{ie^{\epsilon i\theta}}dz}{\epsilon e^{2i\theta}+1}=\int_{\pi}^0 dz=-\pi i$$ понеже [tex]\epsilon\to 0[/tex]. Да видим сега и последния интеграл. Ще положим [tex]z=Re^{i\phi}[/tex], където отново [tex]0\leq \phi\leq 1[/tex]. И така [tex]dz=Rie^{i\phi}d\phi[/tex] и $$\int_{\Gamma} f(z)dz=\int_{R}^{-R}\dfrac{e^{iz}dz}{z^3+z}=i\int_0^{\pi}\dfrac{e^{iRe^{i\phi}}d\phi}{Re^{2i\phi}+1}$$ От неравенството [tex]|a-b|\geq||a|-|b||[/tex] имаме $$|Re^{2i\phi}+1|\geq \left||Re^{2i\phi}|-1\right|=||R|-1|\Leftrightarrow \dfrac{1}{|Re^{2i\phi}+1|}\leq \dfrac{1}{||R|-1|}$$ откъдето и $$\left|\int_{\Gamma}f(z)dz\right|\leq|i|\int_0^{\pi}\dfrac{\left|e^{iRe^{i\phi}}\right|d\phi}{\left|Re^{2i\phi}+1\right|}\leq \int _{0}^\pi \dfrac{d\phi}{||R|-1|}\to 0$$ Вече е ясно, че $$\int_{\Gamma}f(z)dz=0$$ Готови сме... Е, почти. Обединявайки всичко казано досега получаваме $$-\dfrac{\pi i}{e}=-\dfrac{2}{i}\int_{\epsilon}^R\dfrac{\sin x dx}{x^3+x}-\pi i$$ и окончателно $$2\int_0^{\infty}\dfrac{\sin xdx}{x^3+x}=\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin xdx}{x^3+x}=\pi-\dfrac{\pi}{e}$$

[Гост]

Нищо не разбрах, ама много ми хареса