Числови редици и математическа индукция

[Гост]

Числовата редица [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex]..., [tex]a_{n }[/tex] се определя от равенствата:
[tex]a_{1 }[/tex]=2, [tex]a_{n+1 }[/tex]=3[tex]a_{n }[/tex] + 1.

Да се докаже, че за всяко n [tex]\epsilon[/tex] N, [tex]a_{n }[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex](5.[tex]3^{n-1 }[/tex]-1)

[Davids]

Действаме класически с математическа индукция в трите любими стъпки:

1) Базов случай: Тъй като искаме да доказваме твърдението за всяко $n\in\N$, то ще започнем от $n=1$ като база. Проверяваме $2 = a_n \stackrel{?} {=} \frac{5.3^{1-1}-1} {2} = 2$, така че тук сме чисти.

2) Индукционно предположение (ИП): Допускаме, че твърдението, което искаме да доказваме, е вярно за произволно, но фиксирано $n$. Сега това вече можем да използваме като дадено.

3) Индукционна стъпка: Целта тук е, използвайки допускането в ИП, да докажем твърдението и за $n+1$.
Нека се заемем:

$a_{n+1} = 3a_n+1 \stackrel{\text{ИП}} {=} \frac{3}{2}(5.3^{n-1}-1)+1 = \frac{3(5.3^{n-1}-1)+2}{2} = \frac{5.3^n - 1}{2}$

С което доказателството приключи, понеже най-вдясно имаме доказуемото твърдение, но за $n+1$ вместо $n$.

[Гост]

Благодаря!