Биномни коефициенти

[Гост]

Сумата от биномните коефициенти н вторият и третият член в развитието на бинома [tex]( \frac{ \sqrt{y} }{y}+ \frac{ b^{2 } }{ \sqrt[3]{y} } )^{n }[/tex] е 28.

Да се намери биномният коефициент на члена съдържащ [tex]y^{-3 }[/tex].

[Гост]

Допуснах грешка в условието:

Вместо: Сумата от биномните коефициенти н вторият....

Трябва да е: Сумата от биномните коефициенти на вторият....

[Гост]

shtom nastojavash, samo tui li sa greshkite?

[Гост]

Вие и някъде другаде ли намирате грешки?
Все пак това е форум по математика, а не по българска филология.
А и като гледам човекът, написал задачата е поправил грешката си, за да не стават обърквания по условието.
Дори няма да коментирам Вашият начин на писане. Като не можете да решите задачата, поне не се заяждайте с хората.

[KOPMOPAH]

Боя се да попитам, но все пак да не би във втория член на бинома вместо $b$ да е $y$...

[Гост]

Боя се да попитам, но все пак да не би във втория член на бинома вместо $b$ да е $y$...

Ако е така, то няма член, съдържащ $y^{-3}$

[Гост]

Не, b е

[peyo]

Сумата от биномните коефициенти н вторият и третият член в развитието на бинома [tex]( \frac{ \sqrt{y} }{y}+ \frac{ b^{2 } }{ \sqrt[3]{y} } )^{n }[/tex] е 28.

Да се намери биномният коефициент на члена съдържащ [tex]y^{-3 }[/tex].

In [19]: for n in range(2,10):
...: print("n=",n, "$" + latex(expand((sqrt(y)/y+b**2/y**Rational(1,3))**n)) + "$")
...:
...:
n= 2 $\frac{b^{4}}{y^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 b^{2}}{y^{\frac{5}{6}}} + \frac{1}{y}$
n= 3 $\frac{b^{6}}{y} + \frac{3 b^{4}}{y^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 b^{2}}{y^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}}$
n= 4 $\frac{b^{8}}{y^{\frac{4}{3}}} + \frac{4 b^{6}}{y^{\frac{3}{2}}} + \frac{6 b^{4}}{y^{\frac{5}{3}}} + \frac{4 b^{2}}{y^{\frac{11}{6}}} + \frac{1}{y^{2}}$
n= 5 $\frac{b^{10}}{y^{\frac{5}{3}}} + \frac{5 b^{8}}{y^{\frac{11}{6}}} + \frac{10 b^{6}}{y^{2}} + \frac{10 b^{4}}{y^{\frac{13}{6}}} + \frac{5 b^{2}}{y^{\frac{7}{3}}} + \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$
n= 6 $\frac{b^{12}}{y^{2}} + \frac{6 b^{10}}{y^{\frac{13}{6}}} + \frac{15 b^{8}}{y^{\frac{7}{3}}} + \frac{20 b^{6}}{y^{\frac{5}{2}}} + \frac{15 b^{4}}{y^{\frac{8}{3}}} + \frac{6 b^{2}}{y^{\frac{17}{6}}} + \frac{1}{y^{3}}$
n= 7 $\frac{b^{14}}{y^{\frac{7}{3}}} + \frac{7 b^{12}}{y^{\frac{5}{2}}} + \frac{21 b^{10}}{y^{\frac{8}{3}}} + \frac{35 b^{8}}{y^{\frac{17}{6}}} + \frac{35 b^{6}}{y^{3}} + \frac{21 b^{4}}{y^{\frac{19}{6}}} + \frac{7 b^{2}}{y^{\frac{10}{3}}} + \frac{1}{y^{\frac{7}{2}}}$
n= 8 $\frac{b^{16}}{y^{\frac{8}{3}}} + \frac{8 b^{14}}{y^{\frac{17}{6}}} + \frac{28 b^{12}}{y^{3}} + \frac{56 b^{10}}{y^{\frac{19}{6}}} + \frac{70 b^{8}}{y^{\frac{10}{3}}} + \frac{56 b^{6}}{y^{\frac{7}{2}}} + \frac{28 b^{4}}{y^{\frac{11}{3}}} + \frac{8 b^{2}}{y^{\frac{23}{6}}} + \frac{1}{y^{4}}$
n= 9 $\frac{b^{18}}{y^{3}} + \frac{9 b^{16}}{y^{\frac{19}{6}}} + \frac{36 b^{14}}{y^{\frac{10}{3}}} + \frac{84 b^{12}}{y^{\frac{7}{2}}} + \frac{126 b^{10}}{y^{\frac{11}{3}}} + \frac{126 b^{8}}{y^{\frac{23}{6}}} + \frac{84 b^{6}}{y^{4}} + \frac{36 b^{4}}{y^{\frac{25}{6}}} + \frac{9 b^{2}}{y^{\frac{13}{3}}} + \frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$


Виждаме, че при n=7 имаме някакви числа 7+21=28, значи може и да е това, а после $ \frac{35 b^{6}}{y^{3}}$, значи 35 е вероятно отговора на задачата.

Сигурно има и начин да се реши задачата без компютър, без да се изброяват всички възможности.

[KOPMOPAH]

...
n= 7 $\frac{b^{14}}{y^{\frac{7}{3}}} + \frac{7 b^{12}}{y^{\frac{5}{2}}} + \frac{21 b^{10}}{y^{\frac{8}{3}}} + \frac{35 b^{8}}{y^{\frac{17}{6}}} + \frac{35 b^{6}}{y^{3}} + \frac{21 b^{4}}{y^{\frac{19}{6}}} + \frac{7 b^{2}}{y^{\frac{10}{3}}} + \frac{1}{y^{\frac{7}{2}}}$
...

Виждаме, че при n=7 имаме някакви числа 7+21=28, значи може и да е това, а после $ \frac{35 b^{6}}{y^{3}}$, значи 35 е вероятно отговора на задачата.

Сигурно има и начин да се реши задачата без компютър, без да се изброяват всички възможности.

Ако използваме, че ${n \choose 1}+{n \choose 2}=28$, ${n \choose 1}=n$, ${n \choose 2}=\frac {n(n-1)}2$, то стигаме до квадратното уравнение$$n+\frac {n(n-1)}2=28$$Неговите корени са $7$ и $(-8)$

Отрицателният корен не ни върши работа, а за $n=7$ използваме резултата на колегата peyo или го получаваме с много старание и внимание с тези дробни степенни показатели