Задача за 4 точки в пространството

[Гост]

Дадени са точките А(2; 0; 3), В(-1; 1; 2), С(3; 1; 4), и D(4; 3; -1).

а) Да се докаже, че точките не лежат в една равнина;

б) Да се намери обемът на тетраедъра ABCD;

в) Да се намери дължината на височината в тетраедъра, спусната от върха D;

г) Да се намери ъгълът, който сключват правите AD и ВС.

[peyo]

Дадени са точките А(2; 0; 3), В(-1; 1; 2), С(3; 1; 4), и D(4; 3; -1).

а) Да се докаже, че точките не лежат в една равнина;

б) Да се намери обемът на тетраедъра ABCD;

в) Да се намери дължината на височината в тетраедъра, спусната от върха D;

г) Да се намери ъгълът, който сключват правите AD и ВС.

a)

За да докажем, че не лежат в равнина (ax+by+cz+d=0), следната система не трябва да има решение (или трябва да няма решение) :

А(2; 0; 3), В(-1; 1; 2), С(3; 1; 4), и D(4; 3; -1)

a*2+b*0+c*1+d=0
a*(-1)+b*1+c*2+d=0
a*3+b*1+c*4+d=0
a*4+b*3+c*(-1)+d=0

Да видим:

In [300]: var("a,b,c,d")
Out[300]: (a, b, c, d)

In [301]: solve([a*2+b*0+c*1+d,^M
...: a*(-1)+b*1+c*2+d,^M
...: a*3+b*1+c*4+d,^M
...: a*4+b*3+c*(-1)+d])^M
...:
Out[301]: {c: 0, d: 0, b: 0, a: 0}

Хмм. Единственото решение е когато всички параметри са 0, което не е равнина, значи няма решение.

б)
Първо ще решим в)

в)

да намерим равнината ABC

solve([a*2+b*0+c*1+d,
a*(-1)+b*1+c*2+d,
a*3+b*1+c*4+d])

Out[304]: {d: 0, b: -5*c/2, a: -c/2}

d e 0, а c може да бъде каквото си искаме, нека да е 2, тогава равнината е:
-x-5y+2z=0


Разстоянието от D(4; 3; -1) до равнината:

Първия резултат в Google е:

Distance = (| a*x1 + b*y1 + c*z1 + d |) / (sqrt( a*a + b*b + c*c))

Или в нашия случай:

In [307]: abs(-1*4 -5*3 + 2*(-1) + 0 ) / math.sqrt( (-1)**2 + (-5)**2 + 2**2)
Out[307]: 3.8340579025361627

Сега да се върнем на

б)

Първо ни трябва площта на триъгълника ABC. Има различни начини.
https://math.stackexchange.com/questions/128991/how-to-calculate-the-area-of-a-3d-triangle

Код: Избери целия код

def heron(a,b,c): 
    s = (a + b + c) / 2   
    area = (s*(s-a) * (s-b)*(s-c)) ** 0.5       
    return area

def distance3d(x1,y1,z1,x2,y2,z2):   
    a=(x1-x2)**2+(y1-y2)**2 + (z1-z2)**2
    d= a ** 0.5 
    return d 

def areatriangle3d(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3): 
    a=distance3d(x1,y1,z1,x2,y2,z2) 
    b=distance3d(x2,y2,z2,x3,y3,z3) 
    c=distance3d(x3,y3,z3,x1,y1,z1) 
    A = heron(a,b,c) 
    print("area of triangle is %r " %A)

In [309]: areatriangle3d(2,0,1,-1,1,2,3,1,4)
area of triangle is 5.477225575051661


И сега обема да пирамида е:
$V = A*h/3$

5.477225575051661*3.8340579025361627/3 = 7

Я какво точно число получихме! Да не повярва човек, че може и да сме решили задачата правилно.

г)
Не ми е интересна тази точка точно сега, но сигурно е някаква бърза операция с вектори.

[KOPMOPAH]

И още една гледна точка:

Почваме от подточка б). Ако обемът е различен от нула, то е ясно, че четирите точки не лежат в една равнина

Намираме векторите

$~~~~~~~~\overrightarrow {AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) = (-1 - 2; 1 - 0; 2 - 3) = (-3; 1; -1)$

$~~~~~~~~\overrightarrow {AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z) = (3 - 2; 1 - 0; 4 - 3) = (1; 1; 1)$

$~~~~~~~~\overrightarrow {AD} = (D_x - A_x; D_y - A_y; D_z - A_z) = (4 - 2; 3 - 0; -1 - 3) = (2; 3; -4)$

Намираме смесеното произведение на векторите:

$~~~~~~~~\overrightarrow {AB} · (\overrightarrow {AC} × \overrightarrow {AD}) =\begin{vmatrix} AB_x &AB_y& AB_z \\AC_x &AC_y &AC_z\\ AD_x& AD_y &AD_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3& 1& -1\\1& 1& 1\\2& 3& -4\end{vmatrix}= (-3)·1·(-4) + 1·1·2 + (-1)·1·3 - (-1)·1·2 - 1·1·(-4) - (-3)·1·3=$

$ ~~~~~~~~ =12 + 2 - 3 + 2 + 4 + 9 = 26$

Тогава обемът на тетраедъра е:

$ ~~~~~~~~V=\frac 16\left|\overrightarrow {AB} · (\overrightarrow {AC} × \overrightarrow {AD})\right|=\frac 16\cdot 26=\frac {13}3 $ , което означава, че поне един от нас двамата с peyo има грешка ...

[peyo]

И още една гледна точка:

Почваме от подточка б). Ако обемът е различен от нула, то е ясно, че четирите точки не лежат в една равнина

Намираме векторите

$~~~~~~~~\overrightarrow {AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) = (-1 - 2; 1 - 0; 2 - 3) = (-3; 1; -1)$

$~~~~~~~~\overrightarrow {AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z) = (3 - 2; 1 - 0; 4 - 3) = (1; 1; 1)$

$~~~~~~~~\overrightarrow {AD} = (D_x - A_x; D_y - A_y; D_z - A_z) = (4 - 2; 3 - 0; -1 - 3) = (2; 3; -4)$

Намираме смесеното произведение на векторите:

$~~~~~~~~\overrightarrow {AB} · (\overrightarrow {AC} × \overrightarrow {AD}) =\begin{vmatrix} AB_x &AB_y& AB_z \\AC_x &AC_y &AC_z\\ AD_x& AD_y &AD_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3& 1& -1\\1& 1& 1\\2& 3& -4\end{vmatrix}= (-3)·1·(-4) + 1·1·2 + (-1)·1·3 - (-1)·1·2 - 1·1·(-4) - (-3)·1·3=$

$ ~~~~~~~~ =12 + 2 - 3 + 2 + 4 + 9 = 26$

Тогава обемът на тетраедъра е:

$ ~~~~~~~~V=\frac 16\left|\overrightarrow {AB} · (\overrightarrow {AC} × \overrightarrow {AD})\right|=\frac 16\cdot 26=\frac {13}3 $ , което означава, че поне един от нас двамата с peyo има грешка ...

Резултата на Корморан е верния. Ето geogebra се съгласи:

geogebra-export(35).png (52.99 KiB) Прегледано 1621 пъти

А от лицето на ABC става ясно, че там съм сбъркал когато съм въвеждал точките.