Полиноми-задачи

[desislava_i]

6C013156-9483-4AF8-861C-B5D5ABC87475.jpeg (1.91 MiB) Прегледано 1479 пъти

тази и още 2 зад

Здравейте! Имам нужда от помощ за няколко задачи.
1) Намерете най- голям общ делител d(x) на полиномите с рационални коеф. f(x) и g(x), където
f(x)= x^4+x^3+4x^2-2x-12
g(x)= x^3+6x^2+11x+30
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x)+v(x)g(x)= d(x)

2) Да се разложат на неразложими множители над полето на рационалните числа полиномите
а) f(x)= x^5-3x^4+11x^3-33x^2+36x-108
б) f(x)= x^4-6x^3+x^2-48x+7

Благодаря предварително

[ammornil]

(1)
[tex]x^{3}+6x^{2}+11x+30=(x-5)(x^{2}+x+6)[/tex]

[tex]\phantom{Q}x^{4}+x^{3}+4x^{2}-2x-12: x^{2}+x+6 =x^{2}-2[/tex]
[tex]\underline{-[x^{4}+x^{3}+6x^{2}]}[/tex]
[tex]\phantom{QQQQQ}-2x^{2}-2x-12[/tex]
[tex]\phantom{QQQQQ}\underline{-[-2x^{2}-2x-12]}[/tex]
[tex]\phantom{QQQQQQQQQQQQQ}0[/tex]

[tex]\begin{array}{l} g(x)=x^{3}+6x^{2}+11x+30=(x-5)(x^{2}+x+6) \\ f(x)=x^{4}+x^{3}+4x^{2}-2x-12=(x^{2}-2)(x^{2}+x+6) \end{array}[/tex]

най -голям общ делител : [tex]d(x)=x^{2}+x+6[/tex]

[tex]u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x), \phantom{QQ} \because d(x) \ne 0 \forall x \in R \Rightarrow \frac{u(x)f(x)}{d(x)}+\frac{v(x)g(x)}{d(x)}=1[/tex]

[tex]\begin{cases} \frac{f(x)}{d(x)}=x^{2}-2 \\ \frac{g(x)}{d(x)}=x-5 \end{cases} \Rightarrow \frac{u(x)f(x)}{d(x)}+\frac{v(x)g(x)}{d(x)}=1 \Leftrightarrow (x^{2}-2)u(x)+(x-5)v(x)=1[/tex]
Понеже отдясно няма неизвестни, то произведенията отляво дават полиноми от еднаква степен. Това означава, че за най-ниска степен решение, търсените полиноми допълват съответните си множители до втора степен.
[tex]\begin{array}{l} u(x)= a \\ v(x) = bx+c \end{array}[/tex]

[tex](x^{2}-2)u(x)+(x-5)v(x)=1 \Leftrightarrow (x^{2}-2)a+(x-5)(bx+c)=1 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow ax^{2}-2a+bx^{2}+cx-5bx-5=1 \Leftrightarrow (a+b)x^{2}+(c-5b)x-(2a+5)=1[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a+b=0 \\ c-5b = 0 \\ -(2a+5)= 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} -2a-5-1=0 \\ b=-a \\ c=5b \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a=-3 \\ b = 3 \\ c=15 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{l} u(x)= -3 \\ v(x) = 3x+15 \end{array}[/tex]

[ammornil]

(2)
(A)
[tex][/tex]

Picture1.png (8.81 KiB) Прегледано 1450 пъти

[tex]f(x)= x^{5}-3x^{4}+11x^{3}-33x^{2}+36x-108=(x-3)(x^{4}+11x^{2}+36)[/tex]
[tex]v(x)=x^{4}+11x^{2}+36 \rightarrow t=x^{2} \Rightarrow v(x)=t^{2}+11t+36, D_{t}<0 \Rightarrow v(x) \text{ не се разлага на произведение от многочлени без остатък}[/tex]

[ammornil]

(2)Б (Идеята за полиномите от втора степен на които се разлага дадения полином по предложение на Symbolab чрез прилагане на метод на Нютън-Рафсън)

[tex]f(x)= x^{4}-6x^{3}+x^{2}-48x+7=x^{4}-7x^{3}+x^{2}+x^{3}-7x^{2}+x+7x^{2}-49x+7[/tex]

[tex]f(x)= x^{2}(x^{2}-7x+1)+x(x^{2}-7x+1)+7(x^{2}-7x+1)=(x^{2}-7x+1)(x^{2}+x+7)[/tex]

[tex]x^{2}-7x+1=0 \rightarrow x_{1,2}=\frac{7 \pm \sqrt{(-7)^{2}-4.1.1}}{2.1}=\frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex]x^{2}+x+7=0 \rightarrow D<0 \Rightarrow \nexists x \in R[/tex]

[tex]f(x)=(x^{2}-7x+1)(x^{2}+x+7)=\left( x-\frac{7-3\sqrt{5}}{2} \right)\left( x-\frac{7+3\sqrt{5}}{2} \right)(x^{2}+x+7)[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\hspace{1em}x^{4}-6x^{3}+x^{2}-48x+7:x^{2}+x+7=x^{2}-7x+1[/tex]
[tex]\underline{-[x^{4}+x^{3}+7x^{2}]}[/tex]
[tex]\hspace{2em}-7x^{3}-6x^{2}-48x+7[/tex]
[tex]\hspace{1em}\underline{-[-7x^{3}-7x^{2}-49x]}[/tex]
[tex]\hspace{2em}x^{2}+x+7[/tex]
[tex]\hspace{1em}\underline{-[x^{2}+x+7]}[/tex]
[tex]\hspace{6em} 0[/tex]

[ammornil]

[tex]f(x)=x^{3}-x^{2}+2x+4[/tex]

230103_001.png (5.93 KiB) Прегледано 1436 пъти

[tex]f(x)=(x+1)(x^{2}-2x+4) \Rightarrow \text{ функцията има само един реален корен.}[/tex]
От формули на Виет можем да определим:
[tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{-1}{1}=1, \hspace{3em} x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=\frac{2}{1}=2, \hspace{3em} x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{4}{1}=-4[/tex]

[tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \Rightarrow \begin{cases} x_{1}+x_{2}=1-x_{3} \\ x_{2}+x_{3}=1-x_{1} \\ x_{1}+x_{3}=1-x_{2} \end{cases} \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow (x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})=(1-x_{3})(1-x_{1})(1-x_{2}) \Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})=(1-x_{1}-x_{3}-x_{1}x_{3})(1-x_{2}) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})=1-x_{2}-x_{1}+x_{1}x_{2}-x_{3}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}-x_{1}x_{2}x_{3} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})=1-\underbrace{(x_{1}+x_{2}+x_{3})}_{=1}+\underbrace{(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3})}_{=2}-\underbrace{x_{1}x_{2}x_{3}}_{=-4} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})=1-1+2+4 \Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})=6[/tex]

[tex](x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-3(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3}) \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3} = (\underbrace{x_{1}+x_{2}+x_{3}}_{1})^{3}+3\underbrace{(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})}_{=6} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3} = 1^{3}+3.(6) \Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3} =19[/tex]

[tex]P(x)=\underbrace{x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}}_{=19}-\underbrace{(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})}_{=6} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P(x)=19-6 \Leftrightarrow P(x)=13[/tex]