Задача-Сума и сходимост на безкраен числов ред

[Aylin222]

Зад1. Докажете,че реда е сходящ и намерете сумата му.
[tex]\sum_{x=1}^{ \infty } \frac{2n-1}{2^{n } }[/tex]

Зад 2. Да се намери сумата на реда.
[tex]\sum_{x=1}^{ \infty } \frac{6^{n } }{( 3^{n+1 }- 2^{n+1 } )( 3^{n }- 2^{n } )}[/tex]

[peyo]

Зад1. Докажете,че реда е сходящ и намерете сумата му.
[tex]\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2n-1}{2^{n } }[/tex]

Първо ще намерим сумата и ако не е безкрайност това ще е доказателството, че реда е сходящ.

[tex]\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2n-1}{2^{n } } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2n}{2^{n } } - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{n } } = S- K[/tex]

Второто е сума на безкрайна геометрична прогресия с a_1 = 1/2 и r=1/2
$K = \frac{a_1}{1-r } = \frac{1/2}{1-1/2 } = 1$

Първото е сложно. Тук ще пробваме да намерим стойността с фокус!

$S = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2n}{2^{n } } = 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2^{n } } $

$\frac{S}{2 }= \frac{1}{2 } + \frac{2}{4 } + \frac{3}{8 } + \frac{4}{16 } + \frac{5}{32 } ... = \frac{1}{2 } + \frac{1+1}{4 } + \frac{2+1}{8 } + \frac{3+1}{16 } + \frac{4+1}{32 } ... $

$\frac{S}{2 }= \frac{1}{2 } + (\frac{1}{4 } + \frac{2}{8 } + \frac{3}{16 } + \frac{4}{32 } ... ) + (\frac{1}{4 } + \frac{1}{8 } + \frac{1}{16 } + \frac{1}{32 } ... ) $

$\frac{S}{2 } = \frac{1}{2 } + \frac{1}{2}(\frac{1}{2 } + \frac{2}{4 } + \frac{3}{8 } + \frac{4}{16 } ... ) + (\frac{1}{4 } + \frac{1}{8 } + \frac{1}{16 } + \frac{1}{32 } ... ) $

$\frac{S}{2 } = \frac{1}{2 } + \frac{S}{4} + (\frac{1}{4 } + \frac{1}{8 } + \frac{1}{16 } + \frac{1}{32 } ... ) $

$\frac{S}{4 } = \frac{1}{2 } + (\frac{1}{4 } + \frac{1}{8 } + \frac{1}{16 } + \frac{1}{32 } ... ) $

$S = 2 + 1 + \frac{1}{2 } + \frac{1}{4 } + \frac{1}{8 } + \frac{1}{16 } ... $

$S = 4$

$S-K = 4-1 = 3$