Меню
като докажете, че;
[tex]arctg(2) = \pi/2 - arctg(1/2) = \pi/2 - \sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k(1/2)^{(2k + 1)}/(2k + 1)[/tex]
Първото равенство докажете геометрично.
Посочете в интеренет или запишете тук ваше доказателство на формулата, за която се твърди, че е открита от Simon Plouffe през 1995 г.:
[tex]\pi = \sum_{k=0}^{\infty }[1/(16^k)][4/(8k + 1) - 2/(8k + 4) - 1/(8k + 5) - 1/(8k + 6)][/tex]
Вместо формулата на Plouffe, за заемстване на [tex]\pi[/tex] в [tex]arctg(2) = \pi/2 - arctg(1/2)][/tex], можете да използвате и по-простата за доказване формула
[tex]\pi = 6arctg(1/\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}\sum_{k=0}^{\infty }(-1/3)^k/(2k + 1)[/tex]. Освен това, като използвате задачата на r2d2 от https://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=3436 (решена там (и) от Fed): „Зад. Докажете [tex]\pi/4 = 2arctg(1/2) - arctg(1/7)[/tex]“, можете вместо в [tex]arctg(2) = \pi/2 - arctg(1/2)[/tex] да замествате [tex]\pi[/tex] в
[tex]arctg(2) = 3\pi/8−(1/2)arctg(1/7)[/tex], в която формула редът за [tex]arctg(1/7)[/tex] („изглежда“
) има предимството да е малко по-бързо сходящ от реда за [tex]arctg(1/2)[/tex] от формулата [tex]arctg(2) = \pi/2 - arctg(1/2)[/tex].