Иранското неравенство с лема на Р. Симеонов

[Румен Симеонов]

Научете от тук - виж долу линк А., за лемата на Р. Симеонов. Модифицирайте я леко, така, че вече де се отнася за произволни тройки от положителни числа (Втора лема на Р. Симеонов). Вземете, оттук, вж долу линк Б., неравенството известно и като Иранското неравенство. Докажете го лесно като използвате втората лема на Р. Симеонов. Прегледайте и дадените там доказателства, за да видите от какви сложни разсъждения ни спасяват лемите на Р. Симеонов и как много от най-трудните задачи за неравенства се решават лесно с тях ,,на конвейр" - без много мислене и без сложни досещания.
А.
https://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=49&t=8031
Б. https://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=748

[Румен Симеонов]

За по-изчистена (без доказателство) формулировка на лемата на Р. Симеонов виж тук: viewtopic.php?f=97&t=31143&p=120630#p120630

[Румен Симеонов]

Лема на Р. Симeонов (за доказване на неравенства за 3 положителни числа [tex]a, b, c[/tex], които са страни на неизроден триъгълник, т.е. - за които [tex]о<c<a+b, 0<a<b+c, 0<b<c+a[/tex]).
Ако трябва да се докаже неравенство приведено във вид: [tex]0\leqq f(a,b,c)[/tex], за всички тройки [tex](a, b, c)[/tex], представляващи дължините на страните на един неизроден триъгълник, където се е оказало, че:
(1) функцията [tex]f(a,b,c)[/tex] е хомогенна от някоя степен [tex]n[/tex] - цяло число (може и нула и отрицателно), т.е. - такава, че [tex]f(ta,tb,tc)=t^nf(a,b,c), \forall\ t > 0[/tex]
и ако
(2) функцията [tex]f(a,b,c)[/tex] е дефинирана или додефинируема чрез граничен преход и за всички тройки [tex](a,b,c)[/tex], представляващи дължини на изроден триъгълник, който е граница на неизродени триъгълници - т.е. и за всички тройки [tex](a, b, c)[/tex], за които е изпълнено поне някое едно от следните 3 условия:
(У1) [tex]a=b+c=1/2, b\geqq 0, c\geqq 0[/tex];
(У2) [tex]b=c+a=1/2, c\geqq 0, a\geqq 0[/tex];
(У3) [tex]c=a+b=1/2, a\geqq 0, b\geqq 0[/tex];
и ако
(3) функцията има производни [tex]{f}^{'}_{a}(a,b,c), {f}^{'}_{b}(a,b,c), {f}^{'}_{c}(a,b,c)[/tex], когато се диференцира спрямо всяка от буквите приемайки при диференцирането другите 2 букви за константи, при което получените производни се оказват непрекъснати изрази/функции и на трите букви, когато те заедно са страни на един неизроден триъгълник
то тогава, в такъв случай, при наличие на тези предпоставки, неравенството, което трябва да се докаже (ще) е вярно (и) за всички тройки представляващи страни на неизроден триъгълник, ако, в допълнение към (1) - (3), е налице и всяко от следващите (4) и (5):
(4) неравенството е изпълнено (и бъде доказано) за всички тройки представляващи страни на изроден триъгълник, описани в условията (У1), (У2), (У3), а и
(5) неравенството е изпълнено (и бъде доказано) и за всички тройки представляващи страни на неизроден триъгълник, удовлетворяващи следното условие
(У0) [tex]{f}^{'}_{a}(a,b,c)= {f}^{'}_{b}(a,b,c)={f}^{'}_{c}(a,b,c)[/tex], [tex]a+b+c=1[/tex], [tex]о<c<a+b, 0<a<b+c, 0<b<c+a[/tex].

Кратка версия: Доказваш неравенството за всеки от случаите (У0), (У1), (У2), (У3) и неравенството е доказано вярно и за всички неизродени триъгълници (поради лемата на Р. Симеонов).

[Румен Симеонов]

Лема на Р. Симeонов (за доказване на неравенства за 3 положителни числа [tex]a, b, c[/tex], които са страни на неизроден триъгълник, т.е. - за които [tex]о<c<a+b, 0<a<b+c, 0<b<c+a[/tex]).
Ако трябва да се докаже неравенство приведено във вид: [tex]0\leqq f(a,b,c)[/tex], за всички ненулеви тройки [tex](a, b, c)[/tex], представляващи дължините на страните на един неизроден триъгълник, където се е оказало, че:
(1) функцията [tex]f(a,b,c)[/tex] е хомогенна от някоя степен [tex]n[/tex] - цяло число (може и нула и отрицателно), т.е. - такава, че [tex]f(ta,tb,tc)=t^nf(a,b,c), \forall\ t > 0[/tex]
и ако
(2) функцията [tex]f(a,b,c)[/tex] е дефинирана или додефинируема чрез граничен преход и за всички ненуреви тройки [tex](a,b,c)[/tex], представляващи дължини на изроден триъгълник с периметър равен на 1, който е граница на неизродени триъгълници - т.е. и за всички тройки [tex](a, b, c)[/tex], за които е изпълнено поне някое едно от следните 3 условия:
(У1) [tex]a=b+c=1/2, b\geqq 0, c\geqq 0[/tex];
(У2) [tex]b=c+a=1/2, c\geqq 0, a\geqq 0[/tex];
(У3) [tex]c=a+b=1/2, a\geqq 0, b\geqq 0[/tex];
при което функцията е или става след додефинирането,, непрекъсната, поне при [tex]a+b+c=1[/tex], функция дефинирана за всички тройки числа, представлявващи дължини на страни на триъгълник, изроден или не, и имащи сума (периметъра на триъгълника) равна на 1,
и ако
(3) функцията има производни [tex]{f}^{'}_{a}(a,b,c), {f}^{'}_{b}(a,b,c), {f}^{'}_{c}(a,b,c)[/tex], когато се диференцира спрямо всяка от буквите приемайки при диференцирането другите 2 букви за константи, при което получените производни се оказват непрекъснати изрази/функции и на трите букви, когато те заедно са страни на един неизроден триъгълник с периметър равен на 1,
то тогава, в такъв случай, при наличие на тези предпоставки, неравенството, което трябва да се докаже (ще) е вярно (и) за всички тройки представляващи страни на неизроден триъгълник, ако, в допълнение към (1) - (3), е налице и всяко от следващите (4) и (5):
(4) неравенството е изпълнено (и бъде доказано) за всички тройки представляващи страни на изроден триъгълник, описани в условията (У1), (У2), (У3), а и
(5) неравенството е изпълнено (и бъде доказано) и за всички тройки представляващи страни на неизроден триъгълник, удовлетворяващи следното условие
(У0) [tex]{f}^{'}_{a}(a,b,c)= {f}^{'}_{b}(a,b,c)={f}^{'}_{c}(a,b,c)[/tex], [tex]a+b+c=1[/tex], [tex]о<c<a+b, 0<a<b+c, 0<b<c+a[/tex].

Кратка версия: Доказваш неравенството за всеки от случаите (У0), (У1), (У2), (У3) и неравенството е доказано вярно и за всички неизродени триъгълници (поради лемата на Р. Симеонов).

[Румен Симеонов]

Не знам дали е по-поучително от употребата на лемата на Р. Симеонов, но тук има много кратко, и без производни дори, решение на иранското неравенство от 1996 г.: https://artofproblemsolving.com/communi ... inequality