Неравенства #3 за страни на триъгълник

[Румен Симеонов]

Намерете наредена двойка от 2 реални числа [tex]m[/tex] и [tex]M[/tex], имащи възможно най-малка (неотрицателна) разлика [tex]M-m[/tex] сред разликите на наредените двойки реални числа [tex](m, M)[/tex], за които е изпълнено:
[tex]m\leqq\frac{a^3+b^3+c^3}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}\leqq M[/tex],
за всяка (наредена) тройка числа [tex](a,b,c)[/tex] представляваща дължините на трите страни на един, който и да е, неизроден триъгълник, в поредността им така както се срещат подред при обхождане в някоя, която и да е, от двете възможни посоки на обхождане на страните на триъгълника, започвайки от някой, който и да е, от върховете му. За кои наредени тройки [tex](a,b,c)[/tex], съставени от (поредни) дължини на поредни страни на някой неизроден триъгълник, при някое от възможните му обхождания, лявото, съответно дясното, от горните неравенства е равенство?
Упътване. Приложима е лемата на Р. Симеонов.