Кои функции са с приоритет?

[Румен Симеонов]

1. Намерете производната
$f'(x)=...$,
на функцията
$f(x)=sin(x+1)^2$.
Упътване: $sin(π/2)^2=1^2=1\ne π/2.$
2. Докажете, че при
$g(x)=sinx^2$
е изпълнено
$g'(x)\ne sin2x$,
.

[ammornil]

[tex]\sin^{2}{\frac{\pi}{2}}=1\ne \sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}[/tex]
***
[tex]f(x)=\sin{(x+1)^{2}} \Rightarrow f'(x)=2\cdot (x+1)\cdot \cos{(x+1)^{2}}[/tex]
***
[tex]g(x)=\sin{x^{2}} \Rightarrow g'(x)=2\cdot x\cdot \cos{x^{2}}[/tex]
[tex]2\cdot x\cdot \cos{x^{2}} \overset{\normalsize{?}}{\ne} 2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}[/tex]
Вижда се, че има поне едно решение за равенство при [tex]x=0[/tex] следователно твърдението не е вярно за [tex]\forall x \in R[/tex]

[Румен Симеонов]

[tex]\sin^{2}{\frac{\pi}{2}}=1\ne \sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}[/tex]
***
[tex]f(x)=\sin{(x+1)^{2}} \Rightarrow f'(x)=2\cdot (x+1)\cdot \cos{(x+1)^{2}}[/tex]
***
[tex]g(x)=\sin{x^{2}} \Rightarrow g'(x)=2\cdot x\cdot \cos{x^{2}}[/tex]
[tex]2\cdot x\cdot \cos{x^{2}} \overset{\normalsize{?}}{\ne} 2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}[/tex]
Вижда се, че има поне едно решение за равенство при [tex]x=0[/tex] следователно твърдението не е вярно за [tex]\forall x \in R[/tex]

Упътването се потвърждава включително и от калкулаторите в телефоните - проверете:

Calc.pdf

(66.46 KiB) 151 пъти

Следователно от по-малк към по-голям приоритет действията се подреждат така:
плюс и минус,,
умножение и деление,
степенуване,
други функции като синус, косинус и т.н.
Следователно:
$sinx^2=(sinx)^2$,
$g'(x)=2(sinx)(cosx)=sin(2x)$ $\not\equiv$ $sin2x=(sin2)x=xsin2$,
$f'(x)=sin(2(x+1))$ $\not\equiv$ $sin2(x+1)=(sin2)(x+1)=(x+1)sin2$.
Пояснение. Всъщност записвайки в условието $\ne$ имах предвид $\not\equiv$, разбира се. По този повод, макар и прекалено прецизен, (по-)прав е ammornil, че $,,f(x)\ne g(x)" \Leftrightarrow ,,\forall$ $x$ $(f(x)\ne g(x))" {\not\Leftrightarrow} ,,f(x)$ $\not\equiv$ $g(x)"$.

[Румен Симеонов]

Понеже и двамата с ammornil сме на вълна прекалена прецизност, надявам се той да се съгласи с мен, че не е вярно неговото $g'(x)=2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}$, съгласявайки се и, че $g(x):=sinx^2=(sinx)^2$ $\not\equiv$ $\sin(x^2)$, а също и да се съгласи и, че не е вярно неговото разбиране, че $sin2x \equiv \sin(2x)$, както и да се съгласии и, че:
$g'(x)\equiv sin(2x)$ $\not\equiv$ $sin2x\equiv xsin(2)$,
а също и да се съгласи и, че:
$f(x):=sin(x+1)^2\equiv (sin(x+1))^2$ $\not\equiv$ $ sin((x+1)^2)$, като се съгласи и, че:
$f'(x):=sin(2(x+1))$ $\not\equiv sin2(x+1) \equiv (x+1)sin(2)$,

[ammornil]

Общоприетата конвенция е:
[tex](\sin{x})^{2}=\sin^{2}{x}\ne \sin{x^{2}} = \sin(x^{2})[/tex]

Едно основно тригонометрично равенство се записва $$\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}=1$$ а не [tex]\hspace{2em} \sin{x}^{2}+\cos{x}^{2}=1[/tex]
Така, че НЕ, не мога да се съглася с горните Ви твърдения. Благодаря за вниманието.

[Румен Симеонов]

Общоприетата конвенция е:
[tex](\sin{x})^{2}=\sin^{2}{x}\ne \sin{x^{2}} = \sin(x^{2})[/tex]

Едно основно тригонометрично равенство се записва $$\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}=1$$ а не [tex]\hspace{2em} \sin{x}^{2}+\cos{x}^{2}=1[/tex]
Така, че НЕ, не мога да се съглася с горните Ви твърдения. Благодаря за вниманието.

Конвенцията си е конвенция, съглашение (за съкратено обозначение) какво да обозначава нещо което иначе няма смисъл: $sin^2x$ да обозначава $(sinx)^2$.
Но конвенцията не отменя и не е в противоречие със смисъла на нещата, които вече си имат смисъл: $sinx^2=(sinx)^2$.
Бих могъл, донякъде, и евентуално, да се съглася, когато има интервал след $sin$ с равенството $sin\space x^2 = sin(x^2)$ (но все пак трябва да ми посочите къде има такава конвенция за значението на интервалите), което, обаче, не отменя равенството $sinx^2=(sinx)^2$. Освен това, няма как с конвенция да отхвърлите предимството на функцията синус пред действието умножение (с изпусната точка от неговото обозначение) водещо до равенството $sin2x= (sin2)x=xsin(2)$, което равенство самО - без онова с вторите степени, опровергава вярността на вашето решение на задачата.