Комбинации от ротационни тела

[emastnv]

Здравейте,
бихте ли ми помогнали с тази задача. Спешно:
Намерете повърхнината и обема на тяло, получено при завъртането на ромб със страна 4 см и остър ъгъл 60° около права от равнината на ромба, перпендикулярна на една от страните му и минаваща през връх на:
а) остър ъгъл,
б) тъп ъгъл.

[Гост]

Здравейте,
бихте ли ми помогнали с тази задача. Спешно:
Намерете повърхнината и обема на тяло, получено при завъртането на ромб със страна 4 см и остър ъгъл 60° около права от равнината на ромба, перпендикулярна на една от страните му и минаваща през връх на:
а) остър ъгъл,
б) тъп ъгъл.

СПЕШНО - само на 112!

[ammornil]

Здравейте,
бихте ли ми помогнали с тази задача. Спешно:
Намерете повърхнината и обема на тяло, получено при завъртането на ромб със страна 4 см и остър ъгъл 60° около права от равнината на ромба, перпендикулярна на една от страните му и минаваща през връх на:
а) остър ъгъл

Моля да ме извините за разхвърляното решение но нямах много време на разположение.
[tex]\text{ вертикален разрез през диаметър на голямата основа, перпендикулярен на голямата основа }[/tex]

Screenshot 2024-01-08 084415.png (26.37 KiB) Прегледано 1306 пъти

[tex]\text{ поглед от горе }[/tex]

Screenshot 2024-01-08 085734.png (22.11 KiB) Прегледано 1306 пъти

[tex][/tex]
Ако даденият ромб е [tex]ABCD, AB\|CD, BC\|AD, AB=BC=CD=DA=4, \angle{BAD}=60^{\circ}[/tex] и се върти около [tex]CD \in p, AO \bot p, O \in p[/tex], то тялото е прав кръгов пресечен конус с образувателна [tex]4[cm][/tex], радиус на голямата основа равен на [tex]OC[/tex], радиус на малката основа равен на [tex]AB[/tex] и височина равна на [tex]AO[/tex], в които е издълбан прав кръгов конус с радиус на основата равен на [tex]OD[/tex], образувателна равна на [tex]4[cm][/tex] и височина равна на [tex]AO[/tex].
Лесно се вижда, че [tex]\angle{ADO}=\angle{BAD}=60^{\circ} \Rightarrow \angle{DAO}=30^{\circ}[/tex]
[tex]\triangle{DOA} \begin{cases} \angle{DOA}=90^{\circ} \\ \angle{DAO}=30^{\circ} \end{cases} \Rightarrow DO=\frac{1}{2}DA=2[cm] \Rightarrow AO=\sqrt{DA^{2}-DO^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}[cm][/tex]
[tex]CO=6[cm][/tex]

До тук знаем всичко, което ни трябва за да смятаме пивърхнини и обеми (всички отсечки са в сантиметри, всички площи в квадратни сантиметри, всички обеми в къбични сантиметри)
[tex]AB=BC=CD=AD=4, AO=2\sqrt{3}, CO=6, DO=2[/tex]
За пресечeния конус:
[tex]B_{1o}=\pi\cdot{CO^{2}}, B_{2о}=\pi\cdot{AB^{2}}, S_{o}=\pi\cdot{(CO+AB)}\cdot{AD}[/tex]
Повърхнината на тялото, ако го нямаша издълбание вътрешен конус е: [tex]S_{e}=B_{1o}+B_{2o}+S_{o}[/tex]
За издълбания конус имаме: [tex]B_{d}=\pi\cdot{DO^{2}}, S_{d}=\pi\cdot{DO}\cdot{AD}[/tex]
Тогава повърхнината на реалното тяло е [tex]S_{1full}=B_{1o}-B_{d}+B_{2o}+S_{o}+S_{d}=\cdots[/tex]

За обема на реалнот отяло имаме разликата от обемите на пресечния и издълбания конус.
[tex]V_{full}=\pi\cdot{AO}\cdot{(CO^{2}+AB^{2}+CO\cdot{AB})}-\pi\cdot{AO}\cdot{DO^{2}}=\pi\cdot{AO}\cdot{(CO^{2}+AB^{2}+CO\cdot{AB}-DO^{2})}=\cdots[/tex]