Екстремални задачи

[Гост]

Здравейте!
Може ли някой да ми помогне за следната задача:
Да се опише около полусфера с радиус а конус с минимален обем, като се знае, че основите на полусферата и на конуса са концентрични.

Ще съм ви много благодарна.

[S.B.]

Здравейте!
Може ли някой да ми помогне за следната задача:
Да се опише около полусфера с радиус а конус с минимален обем, като се знае, че основите на полусферата и на конуса са концентрични.

Ще съм ви много благодарна.

Без заглавие - 2024-01-13T123642.000.png (223.33 KiB) Прегледано 1373 пъти

[tex]\triangle ABC[/tex] е сечението на търсения конус.
т.$O$ е център на основата на конуса,който съвпада с центъра на полусферата.$OT = a$ е радиусът на сферата в точката $T$,в която тя се допира до образувателната $BC$ на конуса.$CO = h$ е височината на конуса , $OB = R$ е радиусът на основата му, а [tex]\angle \varphi[/tex] е ъгълът между височината и образувателната на конуса.

От [tex]\triangle OTC :[/tex]

[tex]\frac{OT}{OC} = \sin \varphi \Leftrightarrow \frac{a}{h} = \sin \varphi[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{a}{\sin \varphi } $$
От [tex]\triangle OTB :[/tex]

[tex]\frac{OT}{OB} = \sin(90 ^\circ - \varphi) \Leftrightarrow \frac{a}{R} = \cos \varphi[/tex]
$$\Rightarrow R = \frac{a}{\cos \varphi } $$
[tex]V_{кон. } = \frac{ \pi R^{2 } .h}{3} \Leftrightarrow V_{кон. } = \frac{1}{3}. \frac{ \pi a^{2 } }{ \cos^{2 } \varphi } . \frac{a}{\sin \varphi }[/tex]

Получихме,че обемът е функция на ъгъла между височината и образувателната на конуса:
$$V( \varphi) = \frac{ \pi a^{3 } }{3} . \frac{1}{\sin \varphi \cos^{2 } \varphi } $$
$$\varphi \in (0;90 ^\circ )$$
[tex]V'( \varphi ) = \frac{ \pi a^{3 } }{3}. \frac{2 \sin^{2 } \varphi - \cos^{2 } \varphi }{ \sin^{2 } \varphi \cos^{3 } \varphi }[/tex]

От [tex]V'( \varphi) = 0[/tex] получаваме [tex]\sin \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex] - тази е стойността на [tex]\sin \varphi[/tex] за която функцията [tex]V( \varphi)[/tex] притежава екстремум.За да разберете дали този екстремум е минимум,ще трябва да намерите втората производна на функцията.
Ако [tex]V''( \frac{ \sqrt{3} }{3}) >0[/tex] тогава обемът ще е минимален.
Вярвам,че ще се справите самостоятелно.Успех!

[djemi_1990]

Здравейте,
Предстои ми разработка на дипломна работа на тема "Екстремални задачи в училищния курс по математика". Ще съм ви изключително благодарна, ако ме насочите към източници на литература.