аритметична прогресия

[Гост]

Тази задача ме затруднява .

[peyo]

Тази задача ме затруднява .

Да видим каква е тази редица...

In [531]: A = [sin(pi/2+ k*pi/3) for k in range(1,17)]

In [532]: A
Out[532]: [1/2, -1/2, -1, -1/2, 1/2, 1, 1/2, -1/2, -1, -1/2, 1/2, 1, 1/2, -1/2, -1, -1/2]

Повтаря се през 6. Да видим сумите как вървят...

In [535]: [sum(A[:i]) for i in range(1,len(A))]
Out[535]: [1/2, 0, -1, -3/2, -1, 0, 1/2, 0, -1, -3/2, -1, 0, 1/2, 0, -1]

И те се повтарят през 6.

Значи:

S_n = lambda n: [1/2, 0, -1, -3/2, -1, 0][(n-1)%6]

Да проверим:

In [539]: S_n(1)
Out[539]: 0.5

In [540]: S_n(2)
Out[540]: 0

In [541]: S_n(12)
Out[541]: 0

In [542]: S_n(112)
Out[542]: -1.5

[Гост]

Не мога да разбера написаното.

[peyo]

Не мога да разбера написаното.

Ок, ще помисля повече за чисто математическо решение... Нищо не обещавам...

[peyo]

Ok, да я решим по преобладаващо математически начин!

$ S_n = sin(a_1) + sin(a_2) ... + sin(a_n) $
$S_n = sin(\pi/2) + sin(\pi/2 + \pi/3) + sin(\pi/2 + 2\pi/3)... + sin(\pi/2 + (n-1)\pi/3)$
$S_n = cos(0) + cos( \pi/3) + cos( 2\pi/3)... + cos((n-1)\pi/3)$

{{magic}}

$S_n = sin(\frac{\pi \left(6 x - \pi\right)}{18}) +1/2$

Да проверим:

In [631]: plt.plot(range(1, len(S)+1),S); plt.plot(xs, np.sin((6*xs-math.pi)*math.pi/18) +1/2 ); plt.show()

Figure_sum_shjgdfjhsd.png (36.65 KiB) Прегледано 1239 пъти

[grav]

[tex]S_n = \sin\left(\frac\pi 2\right) + \sin\left(\frac\pi 2 + \frac\pi 3\right) + \sin\left(\frac\pi 2 + \frac{2\pi}3\right)+\cdots + \sin\left(\frac\pi 2 + \frac{(n-1)\pi}3\right)[/tex]

Умножаваш двете страни по

[tex]\sin\left(\frac\pi 3\right)[/tex]

използваш, че

[tex]\sin\alpha\sin\beta=\frac12\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right][/tex]

и забелязваш че в дясно много неща се съкращават.

Това разботи за произволна аритметична прогресия.