Векторно пространство

[Гост]

Може ли помощ със следната задача?

Установете кое от следните множества е векторно пространство:

A) множество [tex]P = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}; (x - y)^{2} = 2x + y\}[/tex]
Б) множеството матрици от вида [tex]\begin{pmatrix}1 & a \\ b & - b\end{pmatrix}, (a, b \in R)[/tex]

[ptj]

Имам въпрос :

Не трябва ли също за всеки пример да са зададени операциите "събиране на вектори" и "умножение на вектор с число"?
Защото, ако те евентуално не са зададени, доказването на несъществуването им изобщо, ми се струва трудна задача.

[grav]

Имам въпрос :

Не трябва ли също за всеки пример да са зададени операциите "събиране на вектори" и "умножение на вектор с число"?
Защото, ако те евентуално не са зададени, доказването на несъществуването им изобщо, ми се струва трудна задача.

Предполагам, че се подразбират. В а) имаш подмножество на [tex]\mathbb R^3[/tex] , а в б) множество от матрици. И в двата случая има операции.

[ptj]

а.) [tex](2;0;z)\in P[/tex], но [tex](4;0;z)=(2;0;z)+(2;0;z) \notin P[/tex], защото [tex](4-0)^2 \ne 2.4+0[/tex]

T.e. множеството не е затворено спрямо операцията събиране на вектори.

б.) аналогично на а.)

[tex]\begin{pmatrix}
1 & a \\
b & -b
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
1 & a \\
b & -b
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 2a \\
2b & -2b
\end{pmatrix}[/tex]

В последната матрица елемента [tex]m_{1,1} \ne 1[/tex].
Отново множеството не е затворено спрямо операцията събиране на вектори.

[Гост]

Може ли по-подробно решение на задачата? Също бих бил благодарен ако може да споделите някакви допълнителни материали относно тази тема, защото не съм решавал подобни задачи.

[ptj]

Всяко векторно пространство е абелева група спрямо операцията "събиране на вектори". В горните два случая това не е изпълнено, защото дадените множества не са затворени (спрямо събирането), т.е. не могат да бъдат групи.