Формула на Тейлър

[Гост]

Да се разложи изразът [tex]е^{x}sin(x)[/tex] по формулата на Тейлър(Маклорен) до [tex]x^6[/tex] около точката a = 0.

[KOPMOPAH]

Ще разложим функцията $e^x \sin(x)$ по **формулата на Маклорен (разложение на Тейлър около точката $a = 0$)** до член от реда $x^6$ включително.

---

### **Стъпка 1: Разложения на отделните функции**

Нека си припомним разложенията:

#### 1. $e^x$ около 0:

$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots
$$

#### 2. $\sin(x)$ около 0:

$$
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
$$

---

### **Стъпка 2: Умножаване на редовете**

Търсим:

$$
e^x \sin(x)
$$

Това е произведение на два реда, и ще умножим ги като полиноми, запазвайки само членовете до $x^6$.

---

### **Изчисление:**

Разширяваме до нужната степен:

$$
e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \frac{x^6}{720}
$$

$$
\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}
$$

Сега ще изчислим произведението $(e^x)(\sin(x))$, събирайки членовете до $x^6$:

---

#### Умножение на редовете:

Използваме съкратено умножение на всеки член:

* $x \cdot 1 = x$

* $x \cdot x = x^2$

* $x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$

* $x \cdot \frac{x^3}{6} = \frac{x^4}{6}$

* $x \cdot \frac{x^4}{24} = \frac{x^5}{24}$

* $x \cdot \frac{x^5}{120} = \frac{x^6}{120}$

* $-\frac{x^3}{6} \cdot 1 = -\frac{x^3}{6}$

* $-\frac{x^3}{6} \cdot x = -\frac{x^4}{6}$

* $-\frac{x^3}{6} \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^5}{12}$

* $-\frac{x^3}{6} \cdot \frac{x^3}{6} = -\frac{x^6}{36}$

* $\frac{x^5}{120} \cdot 1 = \frac{x^5}{120}$

* $\frac{x^5}{120} \cdot x = \frac{x^6}{120}$

---

### **Събиране на членовете до $x^6$:**

Групираме по степени:

* $x$: $x$
* $x^2$: $x^2$
* $x^3$: $\frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} = \frac{1}{3}x^3$
* $x^4$: $\frac{x^4}{6} - \frac{x^4}{6} = 0$
* $x^5$: $\frac{x^5}{24} - \frac{x^5}{12} + \frac{x^5}{120} = \frac{5 - 10 + 1}{120}x^5 = -\frac{1}{24}x^5$
* $x^6$: $\frac{x^6}{120} - \frac{x^6}{36} + \frac{x^6}{120} = \left( \frac{1}{120} + \frac{1}{120} - \frac{1}{36} \right)x^6 = \left( \frac{2}{120} - \frac{10}{360} \right) = -\frac{1}{90}x^6$

---

### ✅ **Краен отговор:**

$$
e^x \sin(x) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{24}x^5 - \frac{1}{90}x^6 + \mathcal{O}(x^7)
$$

> ❗ Няма $x^4$-член (той се занулява).

[Гост]

Най-напред трябва да намерим първите 7 производни на функцията $f(x)=e^x sinx$

$f'(x)=(e^x)'sinx+e^x(sinx)'=e^x sinx+e^x cosx$

$f''(x)=e^x sinx+e^x cosx+e^x cosx-e^x sinx=2e^x cosx$

$f'''(x)=2e^x cosx-2e^x sinx$

$f^{IV}(x)=(f'''(x))'=-4e^x sinx$

$f^{V}(x)=-4e^x(sinx+cosx)$

$f^{VI}(x)=(-4e^x)'_x(sinx+cosx)-4e^x(sinx+cosx)'=-4e^x(sinx+cosx+cosx-sinx)=-8e^x cosx$

$f^{VII}(x)=-8e^x(cosx-sinx)$

Общият вид на реда на McLaurin за членове до $x^6$, е:

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x^1+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{IV}(0)}{4!}x^4+\frac{f^{V}(0)}{5!}x^5+\frac{f^{VI}(0)}{6!}x^6+\frac{f^{VII}(\theta)}{7!}x^7;\ -|x|<\theta<|x|$

Сега трябва да пресметнем числовите стойности на първите шест производни зо $x=a=0$, както и стойността на самата функция за $x=0$

$f(0)=e^0sin0=1.0=0$

$f'(0)=e^0sin0+e^0cos0=0+1=1$

$f''(0)=2e^0cos0=2$

$f'''(0)=...=2$, $f^{IV}(0)=0$, $f^{V}(0)=-4$, $f^{VI}(0)=-8$, $f^{VII}(0)=-8$

Сега ни остава да заместим във формулата на McLaurin:

$e^x sinx=x+\frac{2}{2!}x^2+\frac{2}{3!}x^3-\frac{4}{5!}x^5-\frac{8}{6!}x^6+\frac{x^7}{7!}(-8e^\theta(cos\theta-sin\theta));\ -|x|<\theta<|x|$

Или като съкратим, където може:

$e^x sinx=x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{30}x^5-\frac{1}{90}x^6-\frac{e^\theta(cos\theta-sin\theta)}{630}x^7;\ |\theta|<|x|$

Може да съм сбъркал някоя числова стойност.