Задача за басейн

[Валентина]

Една тръба сама може да напълни басейн за 4 часа по -бързо отколкото втората. За времето за което първата тръба ще напълни половината от басейна, двете тръби биха напълнили такава част, каквато втората тръба може да напълни сама за 10 часа. За колко часа всяка от тръбите сама може да напълни басейна ?

[ева]

Получавам [tex]t_{1 }[/tex]=8 часа ,[tex]t_{2 }[/tex]=12 часа(Съставих с-ма от 2 ур-я с неизвестни-[tex]N_{1 }[/tex],[tex]N_{2 }[/tex]-нормите)
Това ли са отговорите?

[S.B.]

Първа тръба: сама цялата работа : х - 4 часа;работа за един час :[tex]\frac{1}{х - 4}[/tex];работа за y часа :[tex]\frac{y}{x - 4}[/tex]
Втора тръба : сама цялата работа : х часа; работа за един час : [tex]\frac{1}{х}[/tex]; работа за y часа:[tex]\frac{y}{x}[/tex];работа за 10 часа :[tex]\frac{10}{х}[/tex];
х>0 и y>o
За y часа първата тръба напълнила [tex]\frac{1}{2}[/tex] от басейна : [tex]\frac{y}{x - 4}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]
За y часа първата + втората напълнили толкова,колкото втората за 10 часа:[tex]\frac{y}{x - 4}[/tex] + [tex]\frac{y}{x}[/tex] = [tex]\frac{10}{x}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{y}{x - 4}= \frac{1}{2} \\ \frac{y}{x - 4} + \frac{y}{x}= \frac{10}{x} \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} x =2y - 4 \\ 10(x - 4) - y(2x - 4) = 0 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} x = 2y +4 \\ 5x - 20 - xy + 2y =0 \end{array}[/tex][tex]\begin{array}{|l} x =2y + 4 \\ 2y(y - 4) = 0 \end{array}[/tex]
2y(y - 4) = 0 тъй като y>0 следва,че y - 4 =0 или y=4,съответно x = 12
първата тръба сама пълни басейна за 8 часа,а втората за 12 часа

[ева]

[tex]t_{1 }[/tex],[tex]N_{1 }[/tex]-време,норма за 1 тръба ;[tex]t_{2 }[/tex],[tex]N_{2 }[/tex]-време,норма за 2 тръба
от 1 изречение-[tex]t_{1 }[/tex]=[tex]t_{2 }[/tex]-4 ; от"пълни басейн"[tex]\Rightarrow[/tex] извършва цялата работа( т.е.[tex]А_{1 }[/tex]=1,[tex]А_{2 }[/tex]=1,също t=[tex]\frac{A}{N}[/tex]),тогава [tex]\frac{1}{N_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{1}{N_{2 }}[/tex]-4 (1)
време,за което 1-та пълни половината от басейна-[tex]t_{1 }[/tex]=[tex]\frac{\frac{1}{2}}{N_{1 }}[/tex] т.е. [tex]t_{1 }[/tex]=[tex]\frac{1}{2N_{1 }}[/tex]
втората сама пълни за 10 ч.-10[tex]N_{2 }[/tex] (това е работа )
двете тръби пълнят[tex]\Rightarrow[/tex] нормата е [tex]N_{1 }[/tex]+[tex]N_{2 }[/tex]
Правим лог. връзка м/у червените думи [tex]\frac{1}{2N_{1 }}[/tex]([tex]N_{1 }[/tex]+[tex]N_{2 }[/tex])=10[tex]N_{2 }[/tex] (2) [ реш.с-та (1) и (2)]
[tex]\begin{array}{|l} N_{2 }=N_{1 }-4N_{1 }N_{2 }\\ N_{1 }+N_{2 }=20N_{1 }N_{2 }\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} N_{1 }=\frac{N_{2 }}{1-4N_{2 }} ( зам.)\\ N_{1 }+N_{2 }=20N_{1 }N_{2 }\end{array}[/tex]

[tex]\frac{N_{2 }}{1-4N_{2 }}[/tex]+[tex]N_{2 }[/tex]=20[tex]\frac{N_{2 }}{1-4N_{2 }}[/tex] .[tex]N_{2 }[/tex] /.[tex]\frac{1-4N_{2 }}{N_{2 }}[/tex][tex]\ne[/tex]0
1+1-4[tex]N_{2 }[/tex]=20[tex]N_{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]N_{2 }[/tex]=[tex]\frac{1}{12}[/tex] ;[tex]N_{1 }[/tex]=[tex]\frac{\frac{1}{12}}{1-\frac{4}{12}}[/tex] т.е. [tex]N_{1 }[/tex]=[tex]\frac{1}{8}[/tex]
от последното изречение [tex]\Rightarrow[/tex] извършва цялата работа т.е.[tex]А_{1 }[/tex]=1,[tex]А_{2 }[/tex]=1 тогава [tex]t_{1 }[/tex][tex]\frac{1}{8}[/tex]=1 и [tex]t_{2 }[/tex][tex]\frac{1}{12}[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_{1 }[/tex]=8 ч.,[tex]t_{2 }[/tex]=12 ч.