Задачка от движение

[KOPMOPAH]

Велосипедист направил велокрос от гр. А до гр. Б и обратно без да спира. На равните участъци от пътя карал с $24\, km/h$, изкачвал се с $20\, km/h$ и се спускал с $30\, km/h$. На отиване това му отнело един час, а на връщане - час и половина.
Да се намери разстоянието между градовете А и Б и средната му скорост.

[Sup3rlum]

От фреш тоадуалкър, директно тука. Точно реших задачата да покажа на малкия ми брат как става, и ето я и тук. Интересно нещо е интернетът.
Още по-интересно ми беше как във видеото я описва като супер трудна задача. За 6-7 клас, да може би.

Виждам, че си опитал да смениш числата, но си пропуснал един малък детайл.

$t=\frac{d}{v}$

Ако едните наклонени очастаци са $a$, равните $b$ и наклонените в другата посока $c$

И общото време е дадено с $T=t_a+t_b+t_c$

Където $AB=a+b+c$

Имаме:

$\begin{array}{|l} 1=\frac{a}{30}+\frac{b}{24}+\frac{c}{20} \\ 1.5=\frac{a}{20}+\frac{b}{24}+\frac{c}{30} \end{array}$

Изваждаме:

$0.5=\frac{a-c}{60}$
$a-c=30$
$a=c+30$

Заместваме в едното уравнение:

$1=\frac{c+30}{30}+\frac{b}{24}+\frac{c}{20}$

$0=\frac{c}{12}+\frac{b}{24}$

$0=b+2c$

Ето тук е проблема на стойнстите които си избрал. Очевидно, няма как участъците да са с отрицателна стойност, а ако са $b=c=0$ се губи естеството на задачата. Щеше да бъде правилно ако беше избрал 2 часа и 2 часа и 30 мин.

$(a-c)+(b+2c)=30+0$
$a+b+c=30$
$a=30$

Ако беше написал 2 часа и 2 часа и 30 мин, задачата щеше да изглежда така:

$1=\frac{c}{12}+\frac{b}{24}$
$24=b+2c$

Което вече има пълен смисъл.

$a+b+c=54$

[S.B.]

Велосипедист направил велокрос от гр. А до гр. Б и обратно без да спира. На равните участъци от пътя карал с $24\, km/h$, изкачвал се с $20\, km/h$ и се спускал с $30\, km/h$. На отиване това му отнело един час, а на връщане - час и половина.
Да се намери разстоянието между градовете А и Б и средната му скорост.

Нека $x$ - равно място,
$y$ - изкачване (спускане)
$z$ - спускане (изкачване)
[tex]\begin{array}{|l}\displaystyle \frac{x}{24} +\displaystyle \frac{y}{20} +\displaystyle \frac{z}{30} = \displaystyle\frac{60}{60}\\\displaystyle \frac{x}{24} +\displaystyle \frac{y}{30} +\displaystyle \frac{z}{20} =\displaystyle \frac{90}{60} \end{array}[/tex] Събирам почленно и се получава:
[tex]\frac{2x}{24} + y(\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) + z(\frac{1}{30} + \frac{1}{20}) = \frac{150}{60} \Leftrightarrow 5x + 5y + 5z = 150 \Rightarrow x + y + z = 30[/tex]
Разстоянието от А до Б е $30$ km
$S = 30 , t = \frac{150}{60} , V = \frac{S}{t} = 12 км/ч$

Скрит текст: покажи

Кой знае?Може и да е вярно,а може и да не е...След разсъжденията на младият ни колега малко съм объркана...въпреки ,че този и други варианти на тази задача съм срещала много пъти в учителската ми практика...

[KOPMOPAH]

Решението на колегата S.B. по отношение на разстоянието е вярно.

Добре-2.gif (40.86 KiB) Прегледано 566 пъти

Колегата Sup3rlum не е съвсем прав в разсъжденията си, надявам се да си открие грешката сам

Системата се решава, както S.B. посочва. Разстоянието е $30\,km$, в което всеки може да се убеди, решавайки системата самостоятелно. Както става ясно, търсят се не отделните $x$, $y$ и $z$, а тяхната сума, която (безспорно) е $30$.

За средната скорост разсъждавам така:
Разстояние от $60\, km$ е изминато за $2,5=\frac 52$ часа, следователно средната скорост на цялото пътуване е $$60:\frac 52=24\,km/h,$$което (по най-учудващ начин) съвпада със скоростта на хоризонталните участъци.

Цялата магия на задачата се състои в това, че скоростта на хоризонталните участъци е средно хармонично на скоростта при изкачване и при спускане. Така е и при Presh Talwalkar (както съвсем правилно е забелязал колегата Sup3rlum), където числата, превозното средство и мерните единици са други, но идеята за решаване е същата.

[Sup3rlum]

Решението наS.B. по отношение на разстоянието е вярно.
Колегата Sup3rlum не е съвсем прав в разсъжденията си, надявам се да си открие грешката сам

Системата се решава, както S.B. посочва. Разстоянието е $30\,km$, в което всеки може да се убеди, решавайки системата самостоятелно. Както става ясно, търсят се не отделните $x$, $y$ и $z$, а тяхната сума, която (безспорно) е $30$.

За средната скорост разсъждавам така:
Разстояние от $60\, km$ е изминато за $2,5=\frac 52$ часа, следователно средната скорост на цялото пътуване е $$60:\frac 52=24\,km/h,$$което по най-учудващ начин съвпада със скоростта на хоризонталните участъци.

Цялата магия на задачата се състои в това, че скоростта на хоризонталните участъци е средно хармонично на скоростта при изкачване и при спускане. Така е и при Presh Talwalkar (както съвсем правилно отбелязва колегата Sup3rlum), където числата, превозното средство и мерните единици са други.

Точно това пропускаш, което съм, написал. Никой не отрича, че отговора е 30 км. Обаче ако възприемем практически, математиката зад тази система, излиза, че двата сегмента, $x$ $y$, са с размер нула. Тази "магия" за 3те скорости е пределно ясна, предполагам.

Грешка аз не виждам, а именно зависимости между сегментите с различен наклон показват, че за времето което си избрал, сегментите са с размери 30, 0, и 0 км.

Решението си е решение, но е само една математическа формулировка и не винаги описва точно това което се случва на практика.

Защо не се пробваш сам да си докажеш, че с 1 час на отиване, единствено е възможно това което пиша за 3ти път досега.

Ако $z=30$ както се получава, при сметките.

на отиване: $t_z=\frac{30}{30}=1$, времето за изминаване на надолнището, е един час, тоест през цялото време велосипедистът кара надолу.

на връщане: $t_z=\frac{30}{20}=1.5$ времето за изминаване на същия сегмент, наобратно е час и половина, тоест навръщане велосипедистът кара нагоре през цялото време.

Пак казвам, ако ми се прочете внимателно мнението горе. Да $x+y+z=30$, ама е грешно практически $y=x=0$, дефакто даваш задача в която велосипедистът кара по един наклон, и се губи естеството на задачата.

Надявах се да си откриеш грешката сам.

[KOPMOPAH]

Съгласих се!
Не винаги в живота има хоризонтални участъци...
Виновните са наказани, неучаствалите - наградени.

[S.B.]

$S = 30 , t = \frac{150}{60} , V = \frac{S}{t} = 12 км/ч$

Грешката ми е от глупава по- глупава ,защото е от недоглеждане,а не от грешни разсъждения...
Естествено е,че след като за време приемам времето за отиване и връщане - [tex]t = \frac{150}{60}[/tex] ,то и за пътя съм имала предвид също $S = 60$ ,което е пътя за отиване и връщане , а не $30$...
Но грешката си е грешка и си е за моя сметка!