Автомобилист

[Стоянов]

Автомобилист пътувал от K за M . До L той се движил със скорост 48 km/h . След L намалил скоростта си с х km/h и с тази скорост преминал третината от разстоянието LM . Останалата част от пътя изминал със скорост (48+2*x)km/h. При коя стойност на x би изминал разстоянието KM най - бързо ?
отговора е 12km/h

[Стоянов]

нямам си никаква идея ? как да подходя

[ptj]

[tex]S_1+S_2+S_3=1[/tex]

[tex]S_2=\frac{1}{3}[/tex]

[tex]v_1=48, v_2=48-x, v_3=48+2x[/tex]

За фиксирано [tex]x[/tex] най-висока средна скорост се постига при максимално дълъг път [tex]S_3[/tex], т.е. когато [tex]S_3[/tex] клони към [tex]\frac{2}{3}[/tex].

[tex]V_{ср.}=\frac{S_1+S_2+S3}{t_1+t_2+t_3}\le\frac{1}{0+\frac{1}{3(48-x)}+\frac{2}{3(48+2x)}}=\frac{3}{\frac{1}{(48-x)}+\frac{1}{(24+x)}}[/tex]

Търсим максимума на [tex]\frac{1}{48-x}+\frac{1}{24+x}[/tex].

Използваме неравенство между средно-аритметично и средно хармонично:

[tex]\frac{(48-x)+(24+x)}{2}\ge\frac{2}{\frac{1}{48-x}+\frac{1}{24+x}}[/tex]

[tex]18\ge\frac{1}{\frac{1}{48-x}+\frac{1}{24+x}}[/tex]

Равенството се достига при [tex]48-x=24+x \Leftrightarrow x=36[/tex].

Максималната скорост клони към [tex]54 km/h[/tex], а тя се достига когато [tex]x[/tex] клони към [tex]36 km/h[/tex].

За да се достигне скоорстта първия участък трябва да е с дължина [tex]0 km[/tex], т.е. [tex]т.К\equiv т.L[/tex]

[Стоянов]

а отговора защо е 12

[ptj]

Защото съм объркал кога се достига равенство.

[tex]48-x=24+x\Leftrightarrow2x=24\Leftrightarrow x=12[/tex]

T.e. максималната средна скорост ([tex]54 km/h[/tex]) и съответно минимално време за целия път се достигат при [tex]x=12 km/h[/tex].