множествена ситуация

[ugrin]

Да се построи множествена ситуация с три базисни множества А, В и С, за която N(A) = 15, N(B) = 10, N(C) =17, N(AUBUC) = 20 и сечението АВC има минимален брой елементи. Колко е този брой?

[ptj]

[tex]N(AUBUC)/C)=N((AUB)/C)=20-17=3[/tex],
т.е. максимум [tex]3[/tex] елемента на [tex]А[/tex] и максимум [tex]3[/tex] елемента на B са извън (не принадлежат на) [tex]C[/tex].

Тогава:
[tex]min(N(A \cap C))=15-3=12[/tex]
[tex]min(N(A \cap C))=10-3=7[/tex]

[tex]min(A \cap B \cap C)=min(N(A \cap C))+min(N(A \cap C))-N(C)= 12+7-17=2[/tex]

П.П. За да са достигне горния минимум, 3-те елемента на [tex]А[/tex] извън [tex]C[/tex] и 3-те елемента на [tex]B[/tex] извън C трябва да са едни и същи, т.е да принадлежат на [tex]A \cap B[/tex].

[ptj]

Всъщност има по-кратко решение:

[tex]N(A \cap B \cap C)\ge N(A \cup B \cup C) -N(A \cup B \cup C)/A-N(A \cup B \cup C)/B-N(A \cup B \cup C)/C[/tex]

[tex]N(A \cap B \cap C) \ge 20-(20-17)-(20-15)-(20-10)=20-(3+5+10)=2[/tex]

[Гост]

Благодаря за решението