Дали е вярна?

[ugrin]

Три момчета - Иван, Петър и Стоян, делят помежду си парите (получени от продажба на вестници). Отначало Иван дал на другите двама по една четвърт от парите, които били у него и още по половин лев. След това Петър дал на Иван и Стоян по една четвърт от намиращите се в него пари и още по половин лев. Накрая същото направил и Стоян. В резултат на това се оказало, че всички имат по 30 лева. По колко лева е имал всеки първоначално?

[peyo]

Три момчета - Иван, Петър и Стоян, делят помежду си парите (получени от продажба на вестници). Отначало Иван дал на другите двама по една четвърт от парите, които били у него и още по половин лев. След това Петър дал на Иван и Стоян по една четвърт от намиращите се в него пари и още по половин лев. Накрая същото направил и Стоян. В резултат на това се оказало, че всички имат по 30 лева. По колко лева е имал всеки първоначално?

Каква е тази интересна рисунка със стрелки? Това някакъв графичен метод за решаване ли е?

Първоначално Иван, Петър и Стоян са имали по $x_0,y_0,z_0$ лева.

Отначало Иван дал на другите двама по една четвърт от парите, които били у него и още по половин лев.

$x_1 = x_0/2 - 1$
$y_1= y_0 + x_0/4 + 0.5$
$z_1= z_0 + x_0/4 + 0.5$

След това Петър дал на Иван и Стоян по една четвърт от намиращите се в него пари и още по половин лев.

$x_2 = x_1 + y_1/4 +0.5$
$y_2 = y_1/2 - 1$
$z_2 = z_1 + y_1/4 +0.5$

Накрая същото направил и Стоян.

$x_3 = x_2 + z_2/4 +0.5$
$y_3 = y_2 + z_2/4 +0.5$
$z_3 = z_2/2 - 1$

В резултат на това се оказало, че всички имат по 30 лева.

$x_3=30$
$y_3=30$
$z_3=30$

И сега да видим какво имаме до момента:

$x_1 = x_0/2 - 1$
$y_1= y_0 + x_0/4 + 0.5$
$z_1= z_0 + x_0/4 + 0.5$
$x_2 = x_1 + y_1/4 +0.5$
$y_2 = y_1/2 - 1$
$z_2 = z_1 + y_1/4 +0.5$
$x_3 = x_2 + z_2/4 +0.5$
$y_3 = y_2 + z_2/4 +0.5$
$z_3 = z_2/2 - 1$
$x_3=30$
$y_3=30$
$z_3=30$

Имаме 12 уравнения с 12 неизвестни. Това е много добра новина, защото това означава, че системата е възможно да е решима. Сега може да разплетем тази система започвайки отзад напред, защото знаем $x_3$ и другите три и със заместване ще решим всичко. Ние обаче просто ще накараме компютъра да реши системата от линейни уравннеия:

In [83]: x3=30; y3=30; z3=30

In [91]: solve([x_1 -( x_0/2 - 1),
...: y_1 -( y_0 + x_0/4 + 0.5),
...: z_1 -( z_0 + x_0/4 + 0.5),
...: x_2 -( x_1 + y_1/4 +0.5),
...: y_2 -( y_1/2 - 1),
...: z_2 -( z_1 + y_1/4 +0.5),
...: x_3 -( x_2 + z_2/4 +0.5),
...: y_3 -( y_2 + z_2/4 +0.5),
...: z_3 -( z_2/2 - 1)])
Out[91]:
{x_0: 14.0000000000000,
x_1: 6.00000000000000,
x_2: 14.0000000000000,
y_0: 26.0000000000000,
y_1: 30.0000000000000,
y_2: 14.0000000000000,
z_0: 50.0000000000000,
z_1: 54.0000000000000,
z_2: 62.0000000000000}

И така получихме Иван 14, Петър 26 и Стоян 50, което е съшия отговор като на рисунката с квадратната мрежа и стрелките.