Помощ със задачи

[contevolution]

Здравейте! Как се решават тези задачи?


Намислих едно число. Умножих намисленото число по 4, извадих полученото от 100, разделих полученото на 7, към полученото прибавих 76, полученото разделих на 5, полученото извадих от 90, полученото разделих на 2, от полученото извадих 27. Получих 10. Кое число съм намислил?


Ябълкова градина е оградена с три огради. Всяка ограда има врата, на която стои пазач. Всеки, който излиза от градината оставя на пазача на всяка врата половината от ябълките, които носи и още една ябълка. Колко ябълки трябва да набере човек, за да може след като излезе от градината да носи със себе си една ябълка? (Задача народно творчество)


В кварталния минимаркет доставили яйца. Първият купувач купил половината от яйцата и още едно яйце. Вторият купувач купил половината от останалите и още едно. Третият купувач купил половината от останалите и още едно. Четвъртият купувач купил половината от останалите и още едно. Тогава яйцата свършили. Колко яйца са били доставени?


За новогодишните празници майка отделила известна сума пари, която да раздаде или похарчи за подаръци на четирите си деца. На първото дете дала един лев, подарък за половината от останалите пари и още 2 лева. На второто дете дала 2 лева, подарък за половината от останалите пари и още 3 лева. На третото дете дала 3 лева, подарък за половината от останалите пари и още 4 лева. Четвъртото дете получило 4 лева, подарък за половината от останалите пари и още 5 лева Накрая останали 3 лева. Колко лева е отделила майката за своите деца?


Една продавачка на ябълки продала на първия купувач половината от ябълките, но той и върнал 10 ябълки. На втория купувач продала една трета част от останалите, но той и върнал 2 ябълки. На третия купувач продала половината от останалите, но той и върнал една ябълка. В този момент продавачката имала 12 ябълки. Колко са били ябълките в началото? (Задача народно творчество)

Фермер продал на първия купувач половината от конете си и още половин кон, на втория купувач − половината от останалите и още половин кон, на третия купувач − половината от останалите и още половин кон, след което му останали 5 коня. При продажбите не се налагало да се режат конете. От колко коня се е състояло стадото преди продажбата? (Занимателна задача от Америка)


Баща, който имал трима синове и три дъщери, оставил в наследство една кутия с таланти (парични единици) и следното завещание: Първият син, след като добави още толкова таланти, колкото има в кутията, да вземе 64 таланта; вторият син, след като добави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 64 таланта; третият син, след като добави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 64 таланта; първата дъщеря, след като остави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 32 таланта; втората дъщеря, след като остави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 32 таланта; третата дъщеря, след като остави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 32 таланта. След всичко това талантите в кутията се свършили. Колко таланта е оставил бащата? По колко таланта е наследил всеки синовете и всяка от дъщерите? (Задача на древногръцкия математик Никомах)


В автобус пътуват няколко жени и 23 мъже. На спирката слезли 18 пътници, от които половината мъже, и се качили 12 души, от които 5 жени. Тогава жените станали три пъти по-малко от мъжете. Колко жени са пътували първоначално в автобуса?


Даниела и Георги набраха от едно дърво 28 ябълки. Георги забеляза, че 3 от неговите ябълки са развалени и ги изхвърли. После даде на Даниела половината от своите ябълки, набра за себе си от дървото още 6. След като Даниела изяде 5 от своите, броят на ябълките им се изравни. Колко ябълки е имала Даниела в началато? (Сп. „Математика” бр. 1, 2013)
Задача. 10. В три бидона има общо 30 л мляко. След като от първия прелели във втория 4 л, от втория прелели в третия 2 л и от третия прелели в първия 3 л, се оказало, че в трите бидона има едно и също количество мляко. По колко литра е имало първоначално във всеки бидон?
Задача 11. В три съда имало общо 24 литра течност. Отначало от първия съд се прелива във втория и в третия по толкова течност, по колкото има във всеки от тях; след това от втория съд се прелива в първия и в третия по толкова, по колкото има във всеки от тях и накрая от третия съд се прелива във първия и във втория по толкова, по колкото има във всеки от тях. След последното преливане се оказва, че в трите съда има поравно количество течност. По колко литра е имало във всеки от съдовете първоначално? (Лалчев, 2009)
Задача 12. Трима братя имат общо 1296 лева. Ако първия даде на втория, толкова, колкото има втория и на третия два пъти по толкова, колкото има третия; след това втория даде на третия толкова колкото има третия и на първия два пъти по толкова, колкото има първия; след това третия даде на първия толкова, колкото има първия и на втория два пъти по толкова, колкото има втория, то след последното раздаване ще се окаже, че тримата имат по равно пари. По колко пари има всеки един от тях?


Три момчета – Ангел, Борис и Васил имали общо 384 марки. Първо Ангел разделил марките, които имал на две равни части, едната част оставил за себе си, а другата част разделил по равно между Борис и Васил. След това Борис разделил марките, които имал в момента на две равни части, едната част оставил за себе си, а другата разделил по равно между другите двама. На края и Васил направил същото с марките, които имал в момента. След последното разделяне се оказало, че всеки има по равен брой марки. По колко марки е имал първоначално всеки от тях? (Лалчев, 2009: 21)


Три момчета - Иван, Петър и Стоян, делят помежду си парите (получени от продажба на вестници). Отначало Иван дал на другите двама по една четвърт от парите, които били у него и още по половин лев. След това Петър дал на Иван и Стоян по една четвърт от намиращите се в него пари и още по половин лев. Накрая същото направил и Стоян. В резултат на това се оказало, че всички имат по 30 лева. По колко лева е имал всеки първоначално? (Версия на задача, давана за прием в Националната природо-математическа гимназия „Академик Любомир Чакалов”, 11 юли, 1990 )
Задача 15. На един остров имало само таралежи, лисици и змии. Таралежите само закусват, като на закуска всеки таралеж изяжда по една змия. Лисиците само обядват, като на обяд всяка лисица изяжда по един таралеж. Змиите само вечерят, като всяка змия изяжда по една лисица. В четвъртък след вечеря на острова останало само едно животно – змия. По колко животни от всеки вид е имало на острова в понеделник преди закуска, ако е известно, че през това време животните не са се размножавали и не са умирали от естествена смърт? (Национално състезание “Зимни математически празници”, Плевен, задача за IV клас, 2000 ?)

[Jack]

Намислих едно число. Умножих намисленото число по 4, извадих полученото от 100, разделих полученото на 7, към полученото прибавих 76, полученото разделих на 5, полученото извадих от 90, полученото разделих на 2, от полученото извадих 27. Получих 10. Кое число съм намислил?

Нека намисленото число е $x$.

$27 - ((90 - (((100 - 4x) : 7 + 76) : 5)) : 2) = 10$
$(90 - (((100 - 4x) : 7 + 76) : 5)) : 2 = 17$
$90 - (((100 - 4x) : 7 + 76) : 5) = 34$
$((100 - 4x) : 7 + 76) : 5 = 56$
$(100 - 4x) : 7 + 76 = 280$
$(100 - 4x) : 7 = 204$
$100 - 4x = 1428$
$4x = -1328$
$x = -332$

[Jack]

Ябълкова градина е оградена с три огради. Всяка ограда има врата, на която стои пазач. Всеки, който излиза от градината оставя на пазача на всяка врата половината от ябълките, които носи и още една ябълка. Колко ябълки трябва да набере човек, за да може след като излезе от градината да носи със себе си една ябълка? (Задача народно творчество)

Нека наберем $x$ ябълки.

$((x : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1 = 1$
$((x : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 = 2$
$(x : 2 - 1) : 2 - 1 = 4$
$(x : 2 - 1) : 2 = 5$
$(x : 2 - 1) = 10$
$x : 2 = 11$
$x = 22$

Човек трябва да набере 22 ябълки.

[Jack]

В кварталния минимаркет доставили яйца. Първият купувач купил половината от яйцата и още едно яйце. Вторият купувач купил половината от останалите и още едно. Третият купувач купил половината от останалите и още едно. Четвъртият купувач купил половината от останалите и още едно. Тогава яйцата свършили. Колко яйца са били доставени?

Нека са доставени $x$ яйца.

$(((x : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1 = 0$
$(((x : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 = 1$
$((x : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 - 1 = 2$
$((x : 2 - 1) : 2 - 1) : 2 = 3$
$(x : 2 - 1) : 2 - 1 = 6$
$(x : 2 - 1) : 2 = 7$
$x : 2 - 1 = 14$
$x : 2 = 15$
$x = 30$

Доставени са $30$ яйца.

[Jack]

За новогодишните празници майка отделила известна сума пари, която да раздаде или похарчи за подаръци на четирите си деца. На първото дете дала един лев, подарък за половината от останалите пари и още 2 лева. На второто дете дала 2 лева, подарък за половината от останалите пари и още 3 лева. На третото дете дала 3 лева, подарък за половината от останалите пари и още 4 лева. Четвъртото дете получило 4 лева, подарък за половината от останалите пари и още 5 лева Накрая останали 3 лева. Колко лева е отделила майката за своите деца?

Нека майката е отделила $x$ лв.

$((((x - 1) : 2 - 2 - 2) : 2 - 3 - 3) : 2 - 4 - 4) : 2 - 5 = 3$
$((((x - 1) : 2 - 4) : 2 - 6) : 2 - 8) : 2 = 8$
$(((x - 1) : 2 - 4) : 2 - 6) : 2 - 8 = 16$
$(((x - 1) : 2 - 4) : 2 - 6) : 2 = 24$
$((x - 1) : 2 - 4) : 2 - 6 = 48$
$((x - 1) : 2 - 4) : 2 = 54$
$(x - 1) : 2 - 4 = 108$
$(x - 1) : 2 = 112$
$x - 1 = 224$
$x = 225$

Майката е отделила 225 лв за синовете си.

[Jack]

Една продавачка на ябълки продала на първия купувач половината от ябълките, но той и върнал 10 ябълки. На втория купувач продала една трета част от останалите, но той и върнал 2 ябълки. На третия купувач продала половината от останалите, но той и върнал една ябълка. В този момент продавачката имала 12 ябълки. Колко са били ябълките в началото? (Задача народно творчество)

Нека първоначално ябълките са били $x$ на брой.

$((x : 2 + 10) \times \frac{2}{3} + 2) : 2 + 1 = 12$

$((x : 2 + 10) \times \frac{2}{3} + 2) : 2 = 11$

$(x : 2 + 10) \times \frac{2}{3} + 2 = 22$

$(x : 2 + 10) \times \frac{2}{3} = 20$

$x : 2 + 10 = 20 \times \frac{3}{2}$

$x : 2 + 10 = 30$
$x : 2 = 20$
$x = 40$ ябълки.

Ябълките първоначално са били $40$ на брой.

[Jack]

Мисля, че схвана как се решават задачите. Това са задачите тип "Рачешки задачи".

[Гост]

Здравейте, може ли решенията на задачите докрая?:))

[Гост]

Моля те, Jack, помогни.....и ако не е нахално, имам още 2 задачи:))

[Jack]

Здравейте, може ли решенията на задачите докрая?:))

Добре. Няма проблем. Ако имаш въпроси казвай.

Фермер продал на първия купувач половината от конете си и още половин кон, на втория купувач − половината от останалите и още половин кон, на третия купувач − половината от останалите и още половин кон, след което му останали 5 коня. При продажбите не се налагало да се режат конете. От колко коня се е състояло стадото преди продажбата? (Занимателна задача от Америка)

Решение от Евва:
Решение на Евва

-----------------------------------------------------------------

Баща, който имал трима синове и три дъщери, оставил в наследство една кутия с таланти (парични единици) и следното завещание: Първият син, след като добави още толкова таланти, колкото има в кутията, да вземе 64 таланта; вторият син, след като добави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 64 таланта; третият син, след като добави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 64 таланта; първата дъщеря, след като остави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 32 таланта; втората дъщеря, след като остави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 32 таланта; третата дъщеря, след като остави още толкова, колкото са останали в кутията, да вземе 32 таланта. След всичко това талантите в кутията се свършили. Колко таланта е оставил бащата? По колко таланта е наследил всеки синовете и всяка от дъщерите? (Задача на древногръцкия математик Никомах)

Нека бащата е оставил $x$ таланта.
$2(2(2(2(2(2x - 64) - 64) - 64) - 32) - 32) - 32 = 0$

Нататък като намериш $x$ може да намериш и другите неща, който питат в условието.

[white]

Страхотно! много благодаря:)

[Jack]

В автобус пътуват няколко жени и 23 мъже. На спирката слезли 18 пътници, от които половината мъже, и се качили 12 души, от които 5 жени. Тогава жените станали три пъти по-малко от мъжете. Колко жени са пътували първоначално в автобуса?

Нека жените са $x$ на брой.

Жените накрая са:
$x - 9 + 5$

Мъжете накрая са:
$23 - 9 + 7 = 21$

$3(x - 9 + 5) = 21$
$x - 4 = 7$
$x = 11$

[Jack]

Даниела и Георги набраха от едно дърво 28 ябълки. Георги забеляза, че 3 от неговите ябълки са развалени и ги изхвърли. После даде на Даниела половината от своите ябълки, набра за себе си от дървото още 6. След като Даниела изяде 5 от своите, броят на ябълките им се изравни. Колко ябълки е имала Даниела в началато? (Сп. „Математика” бр. 1, 2013)

Нека Даниела има $y$ ябълки.
Нека Георги има $x$ ябълки.

Накрая Георги има:
$(x - 3) : 2 + 6$ ябълки

Накрая Даниела има:
$y + (x - 3) : 2 - 5$ ябълки

$(x - 3) : 2 + 6 = y + (x - 3) : 2 - 5$
$6 = y - 5$
$y = 11$
$x = 28 - y = 17$

[Jack]

Задача. 10. В три бидона има общо 30 л мляко. След като от първия прелели във втория 4 л, от втория прелели в третия 2 л и от третия прелели в първия 3 л, се оказало, че в трите бидона има едно и също количество мляко. По колко литра е имало първоначално във всеки бидон?

Цялото количество мляко се запазва от началото до края. [tex]\Rightarrow[/tex]
Накрая във всеки бидон има по $10$ л мляко.

От там нататък си ти.

-----------------------------------------------------------------
Другите задачи ще ги реша след малко.

[white]

Задача 15. На един остров имало само таралежи, лисици и змии. Таралежите само закусват, като на закуска всеки таралеж изяжда по една змия. Лисиците само обядват, като на обяд всяка лисица изяжда по един таралеж. Змиите само вечерят, като всяка змия изяжда по една лисица. В четвъртък след вечеря на острова останало само едно животно – змия. По колко животни от всеки вид е имало на острова в понеделник преди закуска, ако е известно, че през това време животните не са се размножавали и не са умирали от естествена смърт? (Национално състезание “Зимни математически празници”, Плевен, задача за IV клас, 2000 ?)

[white]

Добре, много благодаря )

[white]

Здравейте, силно се надявам да ми помогнете с другите задачи.....чакам с нетърпение )))

[contevolution]

Благодаря!
Наистина полезно, мога да кажа, че до голяма степен схванах логиката зад решаването на задачите! :3

[peyo]

Задача 15. На един остров имало само таралежи, лисици и змии. Таралежите само закусват, като на закуска всеки таралеж изяжда по една змия. Лисиците само обядват, като на обяд всяка лисица изяжда по един таралеж. Змиите само вечерят, като всяка змия изяжда по една лисица. В четвъртък след вечеря на острова останало само едно животно – змия. По колко животни от всеки вид е имало на острова в понеделник преди закуска, ако е известно, че през това време животните не са се размножавали и не са умирали от естествена смърт? (Национално състезание “Зимни математически празници”, Плевен, задача за IV клас, 2000 ?)

Тръгваме назад във времето

In [320]: т=0; л=0; з=1
...: #четвъртък вечеря:
...: л+=з
...: #четвъртък обяд:
...: т+=л
...: #четвъртък закуска:
...: з+=т
...: #сряда вечеря:
...: л+=з
...: #сряда обяд:
...: т+=л
...: #сряда закуска:
...: з+=т
...: #вторник вечеря:
...: л+=з
...: #вторник обяд:
...: т+=л
...: #вторник закуска:
...: з+=т
...: #понеделник вечеря:
...: л+=з
...: #понеделник обяд:
...: т+=л
...: #понеделник закуска:
...: з+=т
...:
...: (т,л,з)
...:
Out[320]: (41, 28, 60)

[Гост]

Здрвейте, някой има ли решение на 11,12 задача?

[Гост]

Здрвейте, някой има ли решение на 11,12 задача?

Може ли решенията на 11 и 12 задача? Благодаря предварително

[ammornil]

Задача 11. В три съда имало общо 24 литра течност. Отначало от първия съд се прелива във втория и в третия по толкова течност, по колкото има във всеки от тях; след това от втория съд се прелива в първия и в третия по толкова, по колкото има във всеки от тях и накрая от третия съд се прелива във първия и във втория по толкова, по колкото има във всеки от тях. След последното преливане се оказва, че в трите съда има поравно количество течност. По колко литра е имало във всеки от съдовете първоначално? (Лалчев, 2009)

$\\[12pt]$След всеки етап количеството в съдовете, в които се прелива, се удвоява. Значи ако тръгнем отзад напред, за съдовете в които е преливано делим количеството им на 2, а за съда ор който се прелива имаме 24 минус количествата в другите два съда... $\\[12pt] \begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \\ \text{етап}&\text{в съд 1}&\text{в съд 2}&\text{в съд 3}&\text{общо} \\[6pt] \hline \text{в края}&8&8&8&24 \\[6pt] \hline \text{преди етап 3}&8\div{}2=4&8\div{}2=4&24-4-4=16&24 \\[6pt] \hline \text{преди етап 2}&4\div{}2=2&24-2-8=14&16\div{}2=8&24 \\[6pt] \hline \text{преди етап 1}&24-7-4=13&14\div{}2=7&8\div{}2=4&24 \\ \hline \end{array} $

[ammornil]

Задача 12. Трима братя имат общо 1296 лева. Ако първия даде на втория, толкова, колкото има втория и на третия два пъти по толкова, колкото има третия; след това втория даде на третия толкова колкото има третия и на първия два пъти по толкова, колкото има първия; след това третия даде на първия толкова, колкото има първия и на втория два пъти по толкова, колкото има втория, то след последното раздаване ще се окаже, че тримата имат по равно пари. По колко пари има всеки един от тях?

$\\[12pt]$Можем да подходим по начин, подобен на решението на предната задача. Тук обаче, на всеки етап на един участник парите се удвояват, защото получава толкова колкото има, а на друг парите се утрояват, защото получава два пъти повече отколкото има. Тогава, тръгвайки отново отзад напред, на всеки етап делим парите на един участник който получил токова колкото имал на $2$, на този който получил два пъти повече отколкото имал делим на $3$, а за даващия пари на другите остават $1296$ лева минус парите които имат другите двама. След трите етапа на размяна, всеки от участниците има по $1296\div{}3= 432$ лева. Съставяме познатата вече таблица: $\\[12pt] \begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \\ \text{етап}&\text{участник 1}&\text{участник 2}&\text{участник 3}&\text{общо} \\[6pt] \hline \text{в края}&432&432&432&1296 \\[6pt] \hline \text{преди етап 3}&432\div{}2=216&432\div{}3=144&1296-216-144=936&1296 \\[6pt] \hline \text{преди етап 2}&216\div{}3=72&1296-72-468=756&936\div{}2=468&1296 \\[6pt] \hline \text{преди етап 1}&1296-378-156=762&756\div{}2=378&468\div{}3=156&1296 \\ \hline \end{array} \\[12pt]$ В началото първият брат има $762$ лева, вторият имал $378$ лева, а третият брат имал $156$ лева.$\\[36pt]$Проверете сметките за изчислителни грешки.