Задача за точки

[Гост]

Някой да може да обясни?

[ammornil]

[tex]C_{2}^{n}[/tex]

Скрит текст: покажи

броят на правите през [tex]n точки, (Dn:\> n\in N, n>1)[/tex], никой три от които не лежат на една права се задава с израза [tex]C_{2}^{n}=\frac{n(n-1)}{2}[/tex]

[tex]\frac{n(n-1)}{2}=105 \Leftrightarrow n^{2}-n-210=0 \Rightarrow n_{1,2}=\frac{1 \mp \sqrt{(-1)^{2}-4.1.(-210)}}{2.1} \Leftrightarrow n_{1,2}=\frac{1 \mp 29}{2.1} \begin{cases} n_{1}=-14 \notin Dn \\ n_{2}=15 \in Dn \end{cases}[/tex]

$$ \text{Отговор } \Large{15}$$

[pal702004]

Скрит текст: покажи

$C_n^2$ или [tex]{n \choose 2}[/tex]

[peyo]

Някой да може да обясни?

Да предположим, че всички точки лежат на една окръжност, за да си ги представим по-добре.

Тогава първите 2 точки са една до друга и през тях минава първата от 105-те прави (1,2). Остават 105 - 1 = 104 прави.
3-тата точка е до тях и от нея построяваме 2 нови прави (3,1) и (3,2). Остават 105 - (1+2) = 102 прави.
4-тата точка е до тях и от нея построяваме 3 нови прави (4,1),(4,2) и (4,2). Остават 105 - (1+2+3) = 99 прави.

Забелязваме странна закономерност. Палим exsela:

tockiprawi3432.png (40.54 KiB) Прегледано 1105 пъти

15!

[KOPMOPAH]

Можем да се опитаме така да си обясним нещата - всяка точка се свързва с останалите $n$ точки, в резултат на което има $\frac {n(n-1)}2$ отсечки (защо... )

Съставяме уравнението

$~~~~~~~~~~~~\frac {n(n-1)}2=105,$

което има решения $n=15$ и $n=-14$, отказваме се от отрицателния корен и получаваме $\boxed{n=15}$