задачи

[Гост]

1. В 8 часа сутринта от град А за град В тръгнал влак, а в 9 часа същия ден тръгнал друг влак от В за А, чиято скорост била 75% от скоростта на първия влак. Ако е известно, че първият влак пристига в град В в 16 часа същия ден, намерете в колко часа двата влака са се срещнали.

2. Част от приятелките на Мая събрали по 15 лева за подарък за рождения й ден, но за избрания подарък не стигнали 90 лева. Към групата се присъединили още 4 приятелки и всички дали по 17 лева. След като купили подаръка с 20% отстъпка, останали 36 лева. За колко е купен подаръкът?

[ammornil]

1. В 8 часа сутринта от град А за град В тръгнал влак, а в 9 часа същия ден тръгнал друг влак от В за А, чиято скорост била 75% от скоростта на първия влак. Ако е известно, че първият влак пристига в град В в 16 часа същия ден, намерете в колко часа двата влака са се срещнали.

Ако означим скоростта на влака от град А с [tex]u[km/h][/tex], то според условието, скоростта на влака от град В е [tex]\frac{75}{100}\cdot{u}=\frac{3u}{4}[km/h][/tex].
Влакът от град A пътувал до град В за време [tex]8[h][/tex] (от 08:00 до 16:00), следователно разстоянието между двата града е [tex]8u[km][/tex].

Нека влакът от град А е пътувал до мястото на срещата за време [tex]x[h][/tex], тогава влакът от град В е пътувал един час по-малко (защото е тръгнал един час по-късно спред условието), следователно времето за което влакът от град В стигнал до мястото на срещата било [tex](x-1)[h][/tex].

За движението на двата влака до мястото на срещата имаме: $$ \begin{matrix} \text{} & v[km/h] & t[h] & s[km] \\ (A) & u & x & x\cdot{u} \\ (B) & \frac{3u}{4} & (x-1) & \frac{3u}{4}\cdot{(x-1)} \end{matrix} $$ Сумата от пътищата, изминати от двата влака до мястото на срещата, е равна на общото разстояние между двата града, следователно $$ x\cdot{u} + \frac{3u}{4}\cdot{(x-1)} = 8u $$
Делим всички едночлени на [tex]u\ne 0[/tex] и получаваме $$ x + \frac{3}{4}\cdot{(x-1)} = 8 $$

Скрит текст: покажи

[tex]\Rightarrow 4x+3x-3=32 \Leftrightarrow 7x=35 \Leftrightarrow x=5[h][/tex] Влакът от град А е достогнал до мястото на срещата за време [tex]5[h][/tex], тръгвайки в 08:00

$$ 08:00+5[h]=13:00 $$ Срещнали са се в 13:00 (един часа след обяд).

[ammornil]

2. Част от приятелките на Мая събрали по 15 лева за подарък за рождения й ден, но за избрания подарък не стигнали 90 лева. Към групата се присъединили още 4 приятелки и всички дали по 17 лева. След като купили подаръка с 20% отстъпка, останали 36 лева. За колко е купен подаръкът?

Нека цената на подаръка без отстъпката е [tex]x[лв][/tex], тогава платената стойност е [tex]x-\frac{20}{100}x=x-\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}\cdot{x}[лв][/tex].
Нека първоначалният брой приятелки е [tex]n[/tex], тогава крайният брой приятелки е [tex](n+4)[/tex].
От условието знаем, че $$ \begin{array}{lll} (1) \rightarrow x - 15\cdot{n} = 90 \\ (2) \rightarrow 17\cdot{(n+4)}-\frac{\normalsize{4}}{\normalsize{5}}\cdot{x}=36 \Leftrightarrow 17\cdot{n}+68-\frac{\normalsize{4}}{\normalsize{5}}\cdot{x}=36 \Leftrightarrow 17\cdot{n}-\frac{\normalsize{4}}{\normalsize{5}}\cdot{x}=-32\end{array}$$
От първото равенство можем да кажем, че [tex]n=\frac{x-90}{15}[/tex] и замествайки за [tex]n[/tex] във второто равенство получаваме $$ 17\cdot{\frac{x-90}{15}}-\frac{\normalsize{4}}{\normalsize{5}}\cdot{x}=-32 $$

Скрит текст: покажи

[tex]\underbrace{\frac{\overset{1}{17\cdot{(x-90)}}}{15}-\overset{3}{\frac{\normalsize{4x}}{\normalsize{5}}}=\overset{15}{-32}}_{15} \Leftrightarrow 17\cdot{(x-90)}-3\cdot{4x}=15\cdot{(-32)} \Leftrightarrow 17x-1530-12x=-480 \Leftrightarrow 5x=1050 \Leftrightarrow x=210[лв][/tex]

[tex]x=210[лв] \Rightarrow \frac{4}{5}\cdot{x}=\frac{4}{5}\cdot{210}=168[лв] \Rightarrow[/tex]$$ \text{Подаръкът бил закупен за сумата от } 168[лв]. $$