две задачи за 7 клас моля за помощ при решаването им

[Гост]

1. Дадено
Триъгълник АВС ъгъл а: ъгъл в: ъгъл с= 1:6:5
ВВ1 =6 см – височина
Да се намери:
а/ ъглите а, в, с – това е лесно. Те са съответно 15, 90 и 75 градуса.
б/ АС и лицето на триъгълник АВС – това е трудно

2. Дадено
Триъгълник АВС – остроъгълен
ъгъл ВАС=58 градуса
ВВ1 и СС1 – височини
ВВ1 пресича СС1 в точка Н
М е средата на АН
Да се намерят ъглите на триъгълник МВ1С1

[ammornil]

1.Триъгълник АВС ъгъл а: ъгъл в: ъгъл с= 1:6:5, ВВ1 =6 см – височина
Да се намери:
а/ ъглите а, в, с – това е лесно. Те са съответно 15, 90 и 75 градуса.
б/ АС и лицето на триъгълник АВС – това е трудно

Теорема: В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 15 градуса височината към хипотенузата е равна на една четвърт от хипотенузата.
Доказателство:

Скрит текст: покажи

Построяваме медианата [tex]BM. \\ AM=BM=CM=\frac{1}{2}\cdot{AC} \Rightarrow \triangle{ABM} \rightarrow AM=BM \Rightarrow \angle{ABM}=\angle{BAM}=15^{\circ}. \\ \triangle{CB_{1}B} \rightarrow \begin{cases} \angle{BB_{1}C}=90^{\circ} \\ \angle{B_{1}CB}=75^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{CBB_{1}}=15^{\circ}. \\ \angle{MBB_{1}}=90^{\circ}-\angle{ABM}-\angle{CBB_{1}}=60^{\circ} \\ \triangle{MB_{1}B} \rightarrow \begin{cases} \angle{BB_{1}M}=90^{\circ} \\ \angle{B_{1}BM}=60^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{BMB_{1}}=30^{\circ} \Rightarrow BB_{1}=\frac{1}{2}\cdot{BM}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}\cdot{AC}} \Rightarrow AC=4\cdot{BB_{1}}[/tex]

Screenshot 2024-03-04 095447.png (28.55 KiB) Прегледано 1452 пъти

[tex]\\AC=4\cdot{BB_{1}} \\ S_{ABC}=\frac{AC\cdot{BB_{1}}}{2}=\frac{4\cdot{BB_{1}}\cdot{BB_{1}}}{2}=2\cdot{BB_{1}^{2}}=72[cm^{2}][/tex]

[ammornil]

2. Триъгълник АВС – остроъгълен, ъгъл ВАС=58 градуса, ВВ1 и СС1 – височини, ВВ1 пресича СС1 в точка Н, М е средата на АН.
Да се намерят ъглите на триъгълник МВ1С1[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-03-04 102548.png (40.59 KiB) Прегледано 1443 пъти

[tex]\\\triangle{AC_{1}C} \rightarrow \angle{ACC_{1}}=90^{\circ}-58^{\circ}=32^{\circ} \\ \triangle{HB_{1}C} \rightarrow \angle{B_{1}HC}=90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ} \\ \angle{B_{1}HC_{1}}=180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ} \\ \triangle{AB_{1}H} \rightarrow AM=B_{1}M=HM=\frac{1}{2}AH \Rightarrow \triangle{B_{1}MH} \rightarrow \angle{MB_{1}H}=\angle{B_{1}HM}=a1 \\ \triangle{AC_{1}H} \rightarrow AM=C_{1}M=HM=\frac{1}{2}AH \Rightarrow \triangle{C_{1}MH} \rightarrow \angle{MC_{1}H}=\angle{C_{1}HM}=a2 \\ a1+a2=122^{\circ} \\ MB_{1}HC_{1} \rightarrow \angle{C_{1}MB_{1}}=360^{\circ}-(a1+a1+a2+a2)=360^{\circ}-2\cdot{}(a1+a2)=116^{\circ} \\ \triangle{C_{1}MB_{1}} \rightarrow C_{1}M=B_{1}M=\frac{1}{2}AH \Rightarrow \angle{MB_{1}C_{1}}= \angle{MC_{1}B_{1}}=x \\ x+x+116^{\circ}=180^{\circ} \Rightarrow x=\frac{180^{\circ}-116^{\circ}}{2}=32^{\circ}[/tex]$$ \angle{MB_{1}C_{1}}= \angle{MC_{1}B_{1}}=32^{\circ}, \angle{C_{1}MB_{1}}=116^{\circ}$$

[Гост]

Много Ви благодаря!