ТРИЪГЪЛНИЦИ

[Гост]

1. Симетралите на АС и ВС на триъгълник АВС се пресичат в точка О /точка О лежи извън триъгълника/. Симетралата на АС пресича АВ в точка М. Симетралата на СВ пресича АВ в точка N и ъгъл MCN =40 градуса. Колко градуса е ъгъл МАО?

2.В триъгълник АВС,ъгъл С =90 градуса, медианата СМ е равна на катета СВ. На колко е равна височината СН?

3. В триъгълник АВС височините АА1 и СС1 се пресичат в точка H и ВС=АН. Ако АВ=17 см и АС1= 11 см, колко е дължината на СН?

Предварително благодаря!

[ammornil]

1. Симетралите на АС и ВС на триъгълник АВС се пресичат в точка О /точка О лежи извън триъгълника/. Симетралата на АС пресича АВ в точка М. Симетралата на СВ пресича АВ в точка N и ъгъл MCN =40 градуса. Колко градуса е ъгъл МАО?

Screenshot 2024-03-11 093141.png (31.86 KiB) Прегледано 1207 пъти

[tex]\\ s_{_{AC}}\cap s_{_{BC}}=O \Rightarrow AO=BO=CO=R \Rightarrow k(O;R) \\ s_{_{AC}}\cap k(O;R)=F; s_{_{BC}}\cap k(O;R)=G \\ M\in s_{_{AC}} \Rightarrow AM=MC \Rightarrow \angle{MAC}=\angle{MCA}=\alpha \\ N\in s_{_{BC}} \Rightarrow BN=NC \Rightarrow \angle{NBC}=\angle{NCB}=\beta \\ \triangle{ABC} \rightarrow \angle{BAC}+\angle{ACB}+\angle{CBA}=180^{\circ} \Leftrightarrow \alpha+\alpha+40^{\circ}+\beta+\beta=180^{\circ} \Leftrightarrow \alpha+\beta=70^{\circ} \\ \widehat{CGB}=2\alpha, \widehat{AFC}=2\beta \Rightarrow \widehat{ACB}=2(\alpha+\beta)=140^{\circ} \\ \angle{AOB}=\widehat{ACB}=140^{\circ} \\ \triangle{AOB} \rightarrow AO=BO=R \Rightarrow \angle{OAB}=\angle{OBA}=\varphi \\ 2\varphi+\angle{AOB}=180^{\circ} \Rightarrow \varphi=20^{\circ}[/tex]$$ \angle{MAO}\equiv \angle{BAO}=\varphi=20^{\circ} $$

[ammornil]

2.В триъгълник АВС,ъгъл С =90 градуса, медианата СМ е равна на катета СВ. На колко е равна височината СН?

Screenshot 2024-03-11 095205.png (13.32 KiB) Прегледано 1207 пъти

[tex]\\[/tex]В правоъгълен триъгълник медианата е равна на половината от хипотенузата, което според даденото, значи че [tex]\\ \begin{cases} AM=BM=CM \\ CM=BC \end{cases} \Rightarrow \triangle{MBC} \text{ е равностранен } \Rightarrow \angle{ABC}= 60^{\circ} \Rightarrow \angle{BAC}=30^{\circ} \\ \triangle{AHC} \rightarrow \begin{cases} \angle{AHC}=90^{\circ} \\ \angle{CAH}=30^{\circ}\end{cases} \Rightarrow CH=\frac{1}{2}\cdot{AC}[/tex]

[ammornil]

3. В триъгълник АВС височините АА1 и СС1 се пресичат в точка H и ВС=АН. Ако АВ=17 см и АС1= 11 см, колко е дължината на СН?

Screenshot 2024-03-11 100459.png (29.6 KiB) Прегледано 1205 пъти

[tex]\\ C_{1}B=AB-AC_{1}=6[cm] \\ \angle{ABC}=\beta \\ \triangle{CC_{1}B} \rightarrow \angle{C_{1}CB}=90^{\circ}-\beta \\ \triangle{AA_{1}B} \rightarrow \angle{BAA_{1}}=90^{\circ}-\beta \\ \triangle{AC_{1}H} \cong \triangle{CC_{1}B} \begin{cases} AH=BC \\ \text{правоъгълни} \\ \angle{C_{1}AH}=\angle{C_{1}CB} \end{cases} \Rightarrow C_{1}H=C_{1}B=6[cm], CC_{1}=AC_{1}=11[cm] \\ CH=CC_{1}-C_{1}H=11-6=5[cm][/tex]

[Гост]

Много Ви благодаря!