Трудни и лесни задачи

[KOPMOPAH]

Трима ученици решили общо $100$ задачи, като всеки от тях решил по $60$. Ще наречем "трудна" една задача, ако е решена само от един ученик, а "лесна" - ако и тримата са я решили. Да се намери отношението между "трудните" и "лесните" задачи.

[Гост]

Трудни и лесни задачи-page-001.jpg (112.02 KiB) Прегледано 1833 пъти

[Гост]

Трудни и лесни задачи-page-001.jpg

Страхотно решение. Само че не разбирам следното: Не може ли да има задачи, които са решени от двама ученици? Тогава те не са нито трудни, нито лесни... Как се изключва този случай?

[KOPMOPAH]

Няма как броят на трудните задачи да е $60$, защото това предполага $180$ решения на уникални задачи, а задачите са общо $100$.

[Гост]

Нали "трудните" са решени само от един ученик, а "лесните" и от тримата? Така пише в условието.

Тогава имаме 60 решения за трудните и 120 за лесните, т.е. общо 180.

[Гост]

Да поясня.

Задачите са 100, но понеже всяка от "лесните" задачи е решена от тримата ученици, то всяка лесна задача поражда 3 решения, а не едно.

Поради тази причина съм ползвал и термина "листи с решения".

60-те "трудни" задачи пораждат 60 решения, защото всяка задача е решена само от един ученик, а 40-те "лесни" пораждат 120 решения, защото всяка "лесна" задача е решена и от тримата ученици. Така решенията стават общо 180.

Да си го представим като граф, в който "трудните" задачи са червени точки, "лесните" са сини точки и учениците са черни точки.

Ако дадена задача е решена от някой ученик свързваме с ребро съответната червена/синя точка със съответната черна.

Именно ребрата са решенията (а не точките) и затова те са повече от задачите по простата причина, че от сините точки излиза по повече от едно ребро.

Пояснение.png (12.7 KiB) Прегледано 1780 пъти

[Гост]

Пояснение с таблица-page-001.jpg (175.95 KiB) Прегледано 1779 пъти

[S.B.]

Ако приемем ,че "трудните " задачи са 60 и допуснем,че един и същи ученик ги е решил всичките 60 ( условието го допуска!) ,то тогава ще се окаже,че "лесни " задачи няма,защото няма да има задачи,които могат да бъдат решени и от тримата!

[ammornil]

[tex]\eta=\frac{80-2n}{n},[/tex] където [tex]n[/tex] е броят на лесните задачи.

[Гост]

Да пробвам по трети начин.

Нека броят на лесните задачи е равен на Л.

Всяка от лесните задачи е решена от всеки един от тримата ученици, т.е. от 60-е задачи, които всеки ученик е решил точно Л на брой са лесни.

Тогава, всеки ученик е решил точно по 60 - Л на брой трудни задачи.

Всяка трудна задача е решена само от един ученик и следователно, трудните задачи са 60 - Л + 60 - Л + 60 - Л = 180 - 3Л на брой.

Общият брой задачи, лесни + трудни, е равен на 100, откъдето, Л + 180 - 3Л = 180 - 2Л = 100, т.е. Л = 40.

Всеки ученик е решил по 20 от трудните (общо 60) и всичките 40 лесни задачи.

P.S.
Ако предположим, че всичките 60 задачи решени от даден ученик са само трудни (т.е решени са само от този ученик), това би означавало, че всеки един от останалите двама ученици е решил само 40 задачи (а по условие всеки е решил по 60) и освен това, останалите 40 задачи ще са решени само от двама ученици (а по условие те са решени и от тримата).

[pipi langstrump]

Ако приемем ,че "трудните " задачи са 60 и допуснем,че един и същи ученик ги е решил всичките 60 ( условието го допуска!) ,то тогава ще се окаже,че "лесни " задачи няма,защото няма да има задачи,които могат да бъдат решени и от тримата!

Не го допуска. По условие има общо 100 различни задачи, които са решени от учениците по такъв начин, че всеки е решил 60 задачи. Ако броя на трудните е 60 и допуснем, че са решени само от един ученик, то за другите двама остава да са решили 40 лесни, което противоречи на условието, че всеки ученик е решил 60 задачи. Значи, за да е изпълнено всичко всеки ученик е решил точно 20 трудни задачи и 40 лесни.

[Гост]

Надявам се, че така горното решение ще стане по-очевидно.

Пояснение към решение 3.png (29.64 KiB) Прегледано 1733 пъти

[KOPMOPAH]

Аз считам, че всеки ученик е решил съответно $k_1$, $k_2$, и $k_3$ $\in [0;20]$ лесни задачи, $20+k_i$ трудни и $40-2k_i$ нито трудни, нито лесни, т.е. решени от точно двама от тях.

Трудни и лесни задачи.jpg (202.3 KiB) Прегледано 1714 пъти

Дал съм три възможни ситуации
Редовете са учениците, зелено - решена, жълто - нерешена. В колоните се виждат трудните и лесните задачи.

[pipi langstrump]

По условие всички ученици са решили равен брой задачи $k$, от които и равен брой лесни задачи. Следователно всички ученици са решили и равен брой трудни задачи. Ако броя на учениците е $s$, a общия брой на различните задачи е $n$, тогава броя на трудните задачи $h$ e

[tex]\frac{h}{s} + (n-h) = k[/tex]

[tex]h = \frac{(n-k)s}{s-1}[/tex]

[KOPMOPAH]

По условие всички ученици са решили равен брой задачи $k$, от които и равен брой лесни задачи...

Няма такова нещо в условието, както и че са само лесни и трудни.

От показания пример се вижда, че само първият и вторият ученик решават трудните задачи.

[pipi langstrump]

По условие всички ученици са решили равен брой задачи $k$, от които и равен брой лесни задачи...

Няма такова нещо в условието, както и че са само лесни и трудни.

"като всеки от тях решил по 60"

Това какво означава тогава? Според мен, че всеки ученик е решил точно 60 задачи, не непременно различни.

П.с. не непременно различни от тези които другите са решили

[KOPMOPAH]

Теоретично може първият и вторият да са решили $60$ едни и същи задачи, но третият трябва задължително да реши $40$-те оставащи и други $20$, което веднага дава разликата между едните и другите. Това, разбира се, е един много частен случай, но не невъзможен. Само за илюстрация.

[Гост]

Лесни - трудни-page-001.jpg (119.8 KiB) Прегледано 1708 пъти

[pipi langstrump]

Теоретично може първият и вторият да са решили $60$ едни и същи задачи, но третият трябва задължително да реши $40$-те оставащи и други $20$, което веднага дава разликата между едните и другите. Това, разбира се, е един много частен случай, но не невъзможен. Само за илюстрация.

Общия брой на различните задачи е 100, а тук станаха 120. От 1 до 60 - средно трудни, решени от ученик 1 и 2 и оставащи 40 трудни - решени от ученик 3. За други място няма.

[pipi langstrump]

Лесни - трудни-page-001.jpg

Не става. Всеки ученик е решил точно 60 задачи. Ако имаше 43 трудни (решени от един ученик Х) и 23 лесни (решени от същия ученик Х) станаха 66.

Ако има средно трудни задачи, т.е такива които са решени от точно 2ма ученика, то те може да само 3 на брой, нито повече, нито по-малко. Да ги означим с I , II и III. I и II са решени от ученик $X$, II и III от ученик $ Y$ и III и I - от ученик $Z$. Така окончателно имаме 40 лесни задачи, 3 средно трудни и 57 трудни. Като всеки ученик е решил 40 лесни, 2 средно трудни и 18 трудни задачи.


Което пак не става,защото 57 трудни задачи не се делят на 18, колкото трябва да е решил всеки ученик, за да има 60 решени,значи няма как да има среднотрудни задачи.

[Гост]

Лесни - трудни-page-001.jpg

Не става. Всеки ученик е решил точно 60 задачи. Ако имаше 43 трудни (решени от един ученик Х) и 23 лесни (решени от същия ученик Х) станаха 66.

Ако има средно трудни задачи, т.е такива които са решени от точно 2ма ученика, то те може да само 3 на брой, нито повече, нито по-малко. Да ги означим с I , II и III. I и II са решени от ученик $X$, II и III от ученик $ Y$ и III и I - от ученик $Z$. Така окончателно имаме 40 лесни задачи, 3 средно трудни и 57 трудни. Като всеки ученик е решил 40 лесни, 2 средно трудни и 18 трудни задачи.


Което пак не става,защото 57 трудни задачи не се делят на 18, колкото трябва да е решил всеки ученик, за да има 60 решени,значи няма как да има среднотрудни задачи.

Това е само пример, който да илюстрира, че ако допуснем повече типове задачи, лесни (решени и от тримата), средни (решени от двама), трудни (решени само от един) и супер трудни (които никой не е решил) задачата става неопределена.

Просто пример с някакви криви цифри, които нагласих за да изпълняват условието. Мога да наглася още доста такива криви примери и всеки от тях ще даде различни стойности за лесните и трудните задачи.

А иначе примерът е следния:

Ученик 1 (червен) е решил: 18 трудни + 19 средни (8 + 11) + 23 лесни = 60 задачи.

Ученик 2 (зелен) е решил: 14 трудни + 23 средни (8 + 15) + 23 лесни = 60 задачи.

Ученик 3 (син) е решил: 11 трудни + 26 средни (11 + 15) + 23 лесни = 60 задачи.

Задачите са общо: 43 трудни (18 + 14 + 11) + 34 средни (8 + 11 + 15) + 23 лесни = 100 задачи

[pipi langstrump]

Мда, наистина може, объркал съм се, мислех, че учениците трябва да решат еднакъв брой трудни задачи.

[Гост]

трудни - лесни-page-001.jpg (186.6 KiB) Прегледано 1695 пъти

[pipi langstrump]

От условието, че учениците са решили 100 задачи, би трябвало множеството на супертрудните задачи да отпадне.

[Гост]

От условието, че учениците са решили 100 задачи, би трябвало множеството на супертрудните задачи да отпадне.

Абсолютно вярно.

Наличието на супер трудни задачи в случая е очевидна нелепица.

Значи имаме система от 4 уравнения със 7 неизвестни.

A + B + C + D + E + F + G = 100

A + B + D + E = 60

A + B + C + F = 60

A + C + D + G = 60