Задача за моделиране със системи уравнения

[Гост]

Двама работници работили едно и също време с постоянна производителност (всеки с различна) и изработили 12 детайла. Ако двамата работят с производителността на първия, за изработването на 12 детайла ще са им необходими 12 min по-малко, а ако работят с производителността на втория, за изработването на 12 детайла ще са им необходими 20 min повече. Колко детайла ще изработи всеки от работниците за осемчасов работен ден?

[ammornil]

Двама работници работили едно и също време с постоянна производителност (всеки с различна) и изработили 12 детайла. Ако двамата работят с производителността на първия, за изработването на 12 детайла ще са им необходими 12 min по-малко, а ако работят с производителността на втория, за изработването на 12 детайла ще са им необходими 20 min повече. Колко детайла ще изработи всеки от работниците за осемчасов работен ден?

$\\[12pt]$Нека прозиводителността на първия работник означим с $P_{1}= x[\text{детайла}/час]$, a производителността на втория работник означим с $P_{2}= y[\text{детайла}/час]$. Когато работили заедно, времето за което са свършили работа $A=12[\text{детайла}]$ може да се пресметне по формулата $t_{0}=\dfrac{A}{P_{1}+P_{2}}$. Тогава според условието, едновременно са верни равенствата:$$ \begin{array}{|l} \dfrac{A}{P_{1}+P_{1}}= \dfrac{A}{P_{1}+P_{2}} -\dfrac{12}{60} \\[12pt] \dfrac{A}{P_{2}+P_{2}}= \dfrac{A}{P_{1}+P_{2}} +\dfrac{20}{60} \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} \dfrac{12}{x+x}= \dfrac{12}{x+y} -\dfrac{12}{60} \\[12pt] \dfrac{12}{y+y}= \dfrac{12}{x+y} +\dfrac{20}{60} \end{array}$$

Скрит текст: покажи

$\begin{array}{|l} \dfrac{6}{x}= \dfrac{12}{x+y} -\dfrac{1}{5} \\[12pt] \dfrac{6}{y}= \dfrac{12}{x+y} +\dfrac{1}{3} \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} 6\cdot{}5(x+y)= 12\cdot{}5x -1\cdot{}x(x+y) \\[12pt] 6\cdot{}3(x+y)=12\cdot{}3y +1\cdot{}y(x+y) \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} 30x+30y=60x-x^{2}-xy \\[12pt] 18x+18y=36y+xy+y^{2}\end{array} \\[12pt] \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} x^{2} -30x +xy+30y+ 0y^{2}=0 \\[12pt] 0x^{2} -18x+xy+18y+y^{2}=0 \end{array} \huge\} - \normalsize \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} x^{2} -12x +12y -y^{2}= 0 \\[12pt] -18x+xy+18y+y^{2}=0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \\[12pt] \begin{array}{|l} (x-y)(x+y)-12(x-y)= 0 \\[12pt] -18x+xy+18y+y^{2}=0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} (x-y)(x+y-12)= 0 \\[12pt] -18x+xy+18y+y^{2}=0 \end{array} \\[12pt] \because \begin{cases} x\ne{}y \\ x\ne{}0 \\ y\ne{} 0 \\ (x-y)(x+y-12)= 0 \end{cases} \Rightarrow x+y-12=0 \Rightarrow x= 12-y \Rightarrow \\[12pt] \begin{array}{|l} x=12-y \\[12pt] -18(12-y)+(12-y)y+18y+y^{2}=0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} x=12-y \\[12pt] -216 +18y +12y -y^{2} +18y +y^{2} =0 \end{array} \\[12pt] \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} x=12-y \\[12pt] 48y =216 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} x=\dfrac{15}{2} \\[12pt] y=\dfrac{9}{2} \end{array} \\[12pt] 8x= 60,\quad 8y=36$

$$ \text{За осем часа } A_{1}=60[\text{детайла}], A_{2}=48[\text{детайла}]$$

Прегледайте сметките за грешки.