Скаларно произведение

[Zarrie]

Здравейте, много ми е любопитно какъв е смисълът от съществуване на косинус във формулата за скаларно произведение на вектори и какъв е механичния или като цяло физичния смисъл от скаларно произведение?
Благодаря предварително

[ptj]

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

По-принцип скаларното произведение се в ортонормирана координатна система се задава като сума от произведенията на съответните координати на 2 вектора. Доказва се ,че то още може да бъде изразено като "произведение на дължините на 2 вектора и косинуса на ъгъла, който те сключват. Скаларното произведение се нулира тогава и само тогава, когато направленията ( и правите) на 2 вектора са перпендикулярни. Във физиката и механиката векторите и операциите с тях играят водеща роля като математически апарат.

[Knowledge Greedy]

... Какъв е смисълът от съществуване на косинус във формулата за скаларно произведение на вектори и какъв е механичният смисъл на скаларно произведение?

Скалар идва от скала - място, където се сравняват величини (математически величини). Скаларът е число.

В множеството на векторите е дефинирана операция скаларно умножение, чиито резултат не е от множеството на векторите. Резултатът е от множеството на числата. Начините, по който се задава са различни. Първоначално е прието следното определение.

Дефиниране на скаларно произведение.PNG (2.25 KiB) Прегледано 2020 пъти

Нека ортогоналната проекция на представител на вектор [tex]\vec v[/tex] .
върху директрисата [tex]g[/tex] на друг вектор [tex]\vec u[/tex] е вектор [tex]\vec v_1[/tex].

(Явно [tex]\frac {\left | \vec v_1 \right| }{\left| \vec v \right| }=cos\varphi[/tex] - при [tex]\varphi <90^\circ[/tex] и [tex]\frac{\left | \vec v_1 \right |}{\left| \vec v \right |}=-cos\varphi[/tex] - при [tex]90^\circ < \varphi <180^\circ[/tex].)

Скаларно произведение на векторите [tex]\vec u[/tex] и [tex]\vec v[/tex] е число, равно на произведението от големините [tex]\left | \vec u \right |[/tex] и [tex]\left | \vec v_1 \right |[/tex], като знакът му е положителен, ако векторите са еднопосочни и знакът на произведението е отрицателен, ако векторите са противопосочни.

В последствие дефиницията става с равенството [tex]\vec u\vec v=\left | \vec u \right |\left | \vec v \right |cos\varphi[/tex],
като предварително е дефиниран ъгъл между два вектора.

При това определение, твърдението изказано от ptj, вече представлява теорема.

Когато разглеждаме n-мерни вектори [tex]\vec u\left (x_1\,\ , x_2 \,\ , ..., \,\ x_n \right )[/tex] и [tex]\vec v\left (y_1,\,\ y_2, \,\ ..., \,\ y_n \right )[/tex] , зададени покоординатно в ортонормирана координатна система, то скаларното им произведение е числото [tex]\vec u\vec v=x_1y_1+\,\ x_2y_2+\,\ + ...+ \,\ x_ny_n[/tex]

Сега вече е целесъобразно, именно последното равенство да приемем като дефиниционно за скаларното произведение.
С негова помощ можем да определим и ъгъл между вектори, който е извън нашите елементарно-геометрични представи.

[pipi langstrump]

Когато искаме да намерим работата, която извършва една сила, действаща върху тяло, трябва да умножим проекцията на силата върху правата, по която се извършва движението по големината на преместването на тялото. Т.е., трябва да умножим скаларно F и s.
Ако F и s сключват остър ъгъл, векторната проекция на F върху s и s имат една посока - проекцията на силата действа по посока на движението и работата е положителна - силата се опитва да ускори тялото. Ако сключват тъп ъгъл, проекцията е обратна на преместването и силата се опитва да забави тялото - работата й е отрицателна (соs от тъп ъгъл е отрицателен). Ако сключват прав ъгъл, работата е нула - силата няма проекция върху преместването и не му влияе.