Руски турнир по математика

[inveidar]

Тема от руски турнир по математика.pdf

(285.11 KiB) 206 пъти

[drago]

A oт кой турнир са ?
Иначе, като ги прегледах по диагонал , ми допадна 7-мата. При нея е явно, че трябва да се търси някаква дискретна конфигурация, която да доведе до противоречие, ако допуснем обратното. Мисля, че не е много трудна.
Нека допуснем, че [tex]O[/tex] и [tex]X[/tex] са две точки оцветени в различни цветове: [tex]O[/tex] - в бяло, [tex]X[/tex] - в черно. Да построим [tex]Y[/tex], така че [tex]OX = OY, \, OX[/tex]перпендикулярно на [tex]OY[/tex]. Построяваме целочислената решетка определена от единичните вектори [tex]OX[/tex]и [tex]OY[/tex].
1) лесно се вижда, че точките от тази решетка, за да удовлетворяват условията на задачата, трябва да са оцветени шахматно.
Построяваме [tex]X'[/tex]- средата на [tex]OX[/tex]. Тогава като имаме предвид, че за [tex]O[/tex] и [tex]X'[/tex] e вярно горното(ако построим целочислена решетка от тези точки), то в какъвто и цвят да е оцветена [tex]X'[/tex]ще получим противоречие.