Зимен математически турнир, гр. Сливен, 19.01.2019 г.

[ABK]

Задачи от ЗМТ 2019.

Решения и класиране по класове могат да се видят на линка по-долу.

http://www.pmg-sliven.com/bg/

[KOPMOPAH]

Вземайки за основа

Задача 8.1. а) Да се докаже, че произведение на четири последователни естествени числа
не може да е точен квадрат на естествено число.

можем ли да разширим твърдението, че произведението на произволен брой последователни естествени числа не може да е точен квадрат?

[pal702004]

Вземайки за основа

Задача 8.1. а) Да се докаже, че произведение на четири последователни естествени числа
не може да е точен квадрат на естествено число.

можем ли да разширим твърдението, че произведението на произволен брой последователни естествени числа не може да е точен квадрат?

За нас не знам, но Ердьош и Селфрид могат. Доказват, че произведението не може да е точна степен, по-голяма от 1, но доказателството за частния случай (втора степен) не е по-просто.

[Knowledge Greedy]

Още един въпрос по задача от същия турнир. Задачата е 10.4 и съвпада с 9.4.
Линкът на ABK » Нед Яну 20, 2019 1:04 am (прикачени файлове) дава непълно условие. А допълненото условие

Задача 9 dot 4.png (36.14 KiB) Прегледано 965 пъти

изглежда също непълно. Още при [tex]m=3[/tex] то е неясно.
Какво е вашето мнение?

[drago]

Задача 9.4. Условието е в горния пост.
Нека $a_i=OA_i,i=1,2,\dots,m$ and $\alpha_i=\angle A_iOA_{i+1}$. Като използваме условието за лицата на триъгълниците получаваме:
$$a_ia_{i+1}\sin \alpha_i=2S_{OA_iA_{i+1}}\leq 1 $$
$$\sin\alpha_i \leq \frac{1}{a_i a_{i+1}}$$
$$\sum_{i=1}^{m-1}\sin\alpha_i \leq \sum_{i=1}^{m-1} \frac{1}{a_i a_{i+1}}$$
От $a_i>1$ следва $\sin\alpha_i<\frac{1}{2}$ или $\alpha_i<\frac{\pi}{6}$. От тук $\sin\alpha_i>\frac{1/2}{\pi/6}x$, защото $\sin x$ е вдлъбната (в $[0,\pi/6]$). И така, $\sin\alpha_i>0.95\alpha_i,i=1,2,\dots,m-1$, и получаваме:
$$(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0.95\cdot \frac{\pi}{4}=0.95\cdot\sum_{i=1}^{m-1}\alpha_i < \sum_{i=1}^{m-1} \frac{1}{a_i a_{i+1}}$$

Да допуснем за момент, че мишките не могат да спечелят играта, както и да играят. Да подредим $a_i$ в нарастващ ред $b_1\leq b_2\leq\dots \leq b_m$. Ключовата идея, която разплита задачата, е да забележим, че
$$(2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, b_i>i\,,\,i=1,2,\dots,m$$
За да се убедим, че това е така, да допуснем, че за някое $i, 1\leq i\leq m$ е изпълнено $b_i\leq i$. Т.е. имаме група $M$ от $i$ на брой мишки на разстояние от центъра по-малъко или равно на $i$. Ако мишките спазват правилото да се делят, така че всеки път да включват във всяка група приблизителен равен брой от мишките в $M$, ще могат да издържат на поне $k:=\lfloor \log_2 i\rfloor$ рунда, докато остане само една от тях. И тъй като тази последната първоначално е била на разстояние степен на $2$, но не повече от $i$ от т. $O$, то след $k$ рунда ще бъде на разстояние най-много $1$ от $O$.

И така, за да не спечелят мишките трябва да е в сила $(2)$. От т.н. rearrangement inequality за редицата $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{m+1}$, следва:
$$\sum_{i=1}^{m-1} \frac{1}{a_i a_{i+1}}\leq \sum_{i=2}^{m+1} \frac{1}{i^2}<\frac{\pi^2}{6}-1$$
Като комбинирме това с $(1)$, получаваме:
$$0.95\cdot \frac{\pi}{4}<\frac{\pi^2}{6}-1$$
Но просто изчисление показва, че горнотo не е вярно, противоречие. И така мишките могат винаги да спечелят играта.

[drago]

Хубава задача, постнах я в AoPS. Може да се видят и други идеи и прецизирано това по-горе.
Любопитно ми колко ученика от 9-ти клас са я решили.