Доказателство, че система няма рационални решения

[Гост]

Да се покаже че няма рационални решения на x, y, z
на системата

[tex]\begin{array}{|l} x + y + z = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100 \end{array}[/tex]

Тази задача много ме затруднява. От стар сборник е и няма решение в него.
Във wordа който съм прикачил са мойте мисли към задачата, но съм зациклил някъде

[drago]

Да предложа нещо. Гледай на $x,y,z$ като на корени на едно кубично у-ние $t^3+at^2+bt+c=0$. Като използваш формулите на Виет и даденото, имаш $a=0,b=-50$, т.е. $x,y,z$ са корени на
$$t^3-50t+c=0\quad (1)$$
Търсим $c\in\mathbb{Q}$, така че (1) да има само рационални решения. Значи за някакви цели $(a,c)$, у-нието
$$at^3-50at+c=0\quad (2)$$
трябва да има цели корени. Случаят $t=0$ e невъзможен (другите корени няма да са рационални). Начертай графиката на ф-ята $y=t^3-50t$. Виж че, за да има (2) цели решения единственият вариант е две от тях да съставляват едно от следните множества: $\{\pm1,\pm n\}, \{\pm 2,\pm n\}, n=3,4,5,6,7$. Пробвай ги, и трябва да не става в никой вариант.

[S.B.]

Да се покаже че няма рационални решения на x, y, z
на системата

[tex]\begin{array}{|l} x + y + z = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100 \end{array}[/tex]

Тази задача много ме затруднява. От стар сборник е и няма решение в него.
Във wordа който съм прикачил са мойте мисли към задачата, но съм зациклил някъде

Може би ше Ви бъде от полза този пример

[Illuzion]

Нека $x=\frac{a}{d}, y=\frac{b}{d}, z=\frac{c}{d}$ е рационално решение на системата, като не съществува просто число $p$, което едновременно да дели целите числа $a, b, c, d$. От второто уравнение получаваме $a^2+b^2+c^2=100d^2$. Разглеждайки по модул $4$, забелязваме, че $2\mid a, b, c$ и нека $a=2u, b=2v, c=2w$. От първото уравнение имаме $x+y+z=0 \iff u+v+w=0$. Накрая имаме $$0=u+v+w\equiv u^2+v^2+w^2=25d^2 \pmod 2$$ и следователно $2\mid d$, което е противоречие.

[Illuzion]

Да дам идея по решението на drago. Разглеждаме неговото уравнение $(2)$. Ясно е, че $a\neq 0$, както и $c\neq 0$ (иначе два от корените са ирационални). Изразът е хомогенен относно $a, c$ и следователно можем да считаме, че са взаимно прости. Но от самото уравнение се вижда, че $a$ дели $c$, така че $|a|=1$ и б. о. о. $a=1$.

Сега се опитваме да решим $t^3-50t+c=0$ в цели числа. Да допуснем, че уравнението има два различни цели корена $u, v$. Получаваме $u^3-v^3=50u-50v$ $$\Rightarrow u^2+uv+v^2=50.$$ Ако разгледаме последното като квадратно уравнение спрямо $u$, ще забележим, че дискриминантата трябва да е точен квадрат. Но с проверка установяваме, че изразът $200-3v^2$ никога не е точен квадрат, противоречие.

[Гост]

Нека $x=\frac{a}{d}, y=\frac{b}{d}, z=\frac{c}{d}$ е рационално решение на системата, като не съществува просто число $p$, което едновременно да дели целите числа $a, b, c, d$. От второто уравнение получаваме $a^2+b^2+c^2=100d^2$. Разглеждайки по модул $4$, забелязваме, че $2\mid a, b, c$ и нека $a=2u, b=2v, c=2w$. От първото уравнение имаме $x+y+z=0 \iff u+v+w=0$. Накрая имаме $$0=u+v+w\equiv u^2+v^2+w^2=25d^2 \pmod 2$$ и следователно $2\mid d$, което е противоречие.

А как се доказва, че нито едно от числата x, y, z не е цяло, и как се показва, че x, y и z могат да се представият като x = [tex]\frac{a}{d}[/tex], y = [tex]\frac{b}{d}[/tex], z = [tex]\frac{c}{d}[/tex], така че нито едно просто число p да не дели a, b, c и d?

[peyo]

Да се покаже че няма рационални решения на x, y, z
на системата

[tex]\begin{array}{|l} x + y + z = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100 \end{array}[/tex]

Да. Задачата изглежда трудна, ако се опитаме да намерим интелигентно доказателство. Вместо това тук ще подходим с груба сила и без да мислим много-много, ще решим системата и ще видим дали решенията са рационални или не и ще използваме компютъра да свърши повечето работа.

In [282]: var("x,y,z,a,b,c")
Out[282]: (x, y, z, a, b, c)

In [284]: (x**2 + y**2 + z**2 -100) .subs(x, -y-z)
Out[284]: y**2 + z**2 + (-y - z)**2 - 100

In [286]: solve(y**2 + z**2 + (-y - z)**2 - 100, y)
Out[286]: [-z/2 - sqrt(-3*z**2 + 200)/2, -z/2 + sqrt(-3*z**2 + 200)/2]

За да имаме решения -3*z**2 + 200 трябва да е по-малко или равно на 0.

In [287]: solve(-3*z**2 + 200)
Out[287]: [-10*sqrt(6)/3, 10*sqrt(6)/3]

In [288]: float(10*sqrt(6)/3)
Out[288]: 8.16496580927726

z трябва може да е от -8.16496580927726 до 8.16496580927726. Първо да видим дали има решение в цели числа:

In [289]: for z in range(9): print sqrt(-3*z**2 + 200),
10*sqrt(2) sqrt(197) 2*sqrt(47) sqrt(173) 2*sqrt(38) 5*sqrt(5) 2*sqrt(23) sqrt(53) 2*sqrt(2)

Никое от горните решение не е рационално.

Да видим дали има решение в рационални числа:

In [277]: solve(-3*(a/b)**2+200-c**2)
Out[277]: [{a: -b*sqrt(-3*c**2 + 600)/3}, {a: b*sqrt(-3*c**2 + 600)/3}]

In [278]: solve(-3*c**2 + 600)
Out[278]: [-10*sqrt(2), 10*sqrt(2)]

In [279]: float(-10*sqrt(2))
Out[279]: -14.142135623730951

За да има решение вв рационални числа c трябва да е цяло число от -14.142135623730951 до 14.142135623730951. Да видим:

In [280]: for c in range(15): print sqrt(-3*c**2 + 600),
10*sqrt(6) sqrt(597) 14*sqrt(3) sqrt(573) 2*sqrt(138) 5*sqrt(21) 2*sqrt(123) sqrt(453) 2*sqrt(102) sqrt(357) 10*sqrt(3) sqrt(237) 2*sqrt(42) sqrt(93) 2*sqrt(3)

Никое от горните също не прилича да е рационално число. С което изчерпахме всички случаи и мисля показахме че няма рационални решения за z на системата, a оттам и за x,y,z.

[Illuzion]

Нека $x=\frac{a}{d}, y=\frac{b}{d}, z=\frac{c}{d}$ е рационално решение на системата, като не съществува просто число $p$, което едновременно да дели целите числа $a, b, c, d$. От второто уравнение получаваме $a^2+b^2+c^2=100d^2$. Разглеждайки по модул $4$, забелязваме, че $2\mid a, b, c$ и нека $a=2u, b=2v, c=2w$. От първото уравнение имаме $x+y+z=0 \iff u+v+w=0$. Накрая имаме $$0=u+v+w\equiv u^2+v^2+w^2=25d^2 \pmod 2$$ и следователно $2\mid d$, което е противоречие.

А как се доказва, че нито едно от числата x, y, z не е цяло, и как се показва, че x, y и z могат да се представият като x = [tex]\frac{a}{d}[/tex], y = [tex]\frac{b}{d}[/tex], z = [tex]\frac{c}{d}[/tex], така че нито едно просто число p да не дели a, b, c и d?

Нека $x=\frac{x_1}{x_2}, y=\frac{y_1}{y_2}, z=\frac{z_1}{z_2}$ е рационално решение. Можем да запишем $$x=\frac{x_1y_2z_2}{x_2y_2z_2}, y=\frac{x_2y_1z_2}{x_2y_2z_2}, z=\frac{x_2y_2z_1}{x_2y_2z_2}.$$ Това ни дава представяне от вида $x=\frac{a}{d}, y=\frac{b}{d}, z=\frac{c}{d}.$ Ако някое просто число дели $a, b, c$ и $d$, можем да го съкратим, тоест да разгледаме вече числата $\frac{a}{p}, \frac{b}{p}, \frac{c}{p}, \frac{d}{p}$.

[pal702004]

Задачата се решава по модул 3. (или 9)

$(x+y)^2+x^2+y^2=100$

$(2x+y)^2+3y^2=200$

Нека $2x+y=\dfrac p s, y=\frac q s$

$p^2+3q^2=200s^2$
в цели числа

Квадратите на целите числа, неделящи се на 3, дават остатък 1 при делене на 3. A 200 дава остатък 2 при делене на 3. Проблем

$p^2\equiv s^2\equiv 1 \pmod 3$

или $p^2\equiv q^2\equiv 0 \pmod 9$

[Гост]

Задачата се решава по модул 3. (или 9)

$(x+y)^2+x^2+y^2=100$

$(2x+y)^2+3y^2=200$

Нека $2x+y=\dfrac p s, y=\frac q s$

$p^2+3q^2=200s^2$
в цели числа

Квадратите на целите числа, неделящи се на 3, дават остатък 1 при делене на 3. A 200 дава остатък 2 при делене на 3. Проблем

$p^2\equiv s^2\equiv 1 \pmod 3$

или $p^2\equiv q^2\equiv 0 \pmod 9$

Защо е $p^2\equiv s^2\equiv 1 \pmod 3$.?

[Гост]

Задачата се решава по модул 3. (или 9)

$(x+y)^2+x^2+y^2=100$

$(2x+y)^2+3y^2=200$

Нека $2x+y=\dfrac p s, y=\frac q s$

$p^2+3q^2=200s^2$
в цели числа

Квадратите на целите числа, неделящи се на 3, дават остатък 1 при делене на 3. A 200 дава остатък 2 при делене на 3. Проблем

$p^2\equiv s^2\equiv 1 \pmod 3$

или $p^2\equiv q^2\equiv 0 \pmod 9$

трябва ли да се покаже, че нито едно от чисдата x, y, z не е равно на 0