Олимпиада 18.12.2011 София

[stflyfisher]

Олимпиада по математика 11 и 12 клас 18.12.2011 София

[Xixibg]

[tex]11.1.a)[/tex] Нека с [tex]T_n[/tex] отбелязваме температурата през [tex]n[/tex]-тия час.
[tex]=>t_n=T_n-T_{n-1}[/tex]
[tex]q=\frac{t_2}{t_1}=\frac{T_2-T_1}{T_1-T_0}=\frac{T_2-5}{5};=>T_2=5q+5[/tex]
[tex]q=\frac{t_3}{t_2}=\frac{T_3-T_2}{T_2-T_1}=\frac{10-(5q+5)}{5q+5-5}=\frac{\cancel{5}(1-q)}{\cancel{5}q}=\frac{1-q}{q}[/tex]
[tex]=>q^2+q-1=0 ; q>0 ; =>q=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]
[tex]b) t_n=q^{n-2}.t_2[/tex]
[tex]=>t_5=q^3.t_2=q^3(T_2-T_1)=q^3(5q+5-5)=5q^4=5.(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^4=\frac{35-15\sqrt{5}}{2}\approx 0,72[/tex]
[tex]q=\frac{T_4-T_3}{T_3-T_2}=\frac{T_4-10}{10-(5q+5)}=\frac{T_4-10}{5(1-q)} ; =>T_4=5q(1-q)+10[/tex]
[tex]q=\frac{T_5-T_4}{T_4-T_3}=q=\frac{T_5-(5q(1-q)+10)}{5q(1-q)+10-10}[/tex]
[tex]=>T_5=5q^2(1-q)+5q(1-q)+10=-5q^3+\cancel{5q^2}-\cancel{5q^2}+5q+10=-5(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3+5.\frac{\sqrt{5}-1}{2}+10[/tex]
[tex]=>T_5=-5(\sqrt{5}-2)+\frac{5.\sqrt{5}-5}{2}+10=\frac{35-5\sqrt{5}}{2}\approx 11,9[/tex]

[Xixibg]

[tex]11.2. a)[/tex]
[tex]a_3=a_1+2d=13 ; a_6=a_1+5d=4 ; =>a_3-a_6=13-4=9=a_1+2d-a_1-5d=-3d[/tex]
[tex]=>d=-3 ; =>a_1=13-2d=19[/tex]
[tex]S_n=\frac{2n.19-3n(n-1)}{2}=\frac{-3n^2+41n}{2}[/tex]
[tex]=>S_7=140=Max ; S_{\infty}=-\infty =min[/tex]

[strangerforever]

3. а)

Знаем, че

[tex]a^2 + b^2 \ge 2ab \Leftrightarrow 4S \ge 2ab \Leftrightarrow 2abcos\gamma \ge 2ab \Leftrightarrow cos\gamma \ge 1[/tex]

[tex]\Rightarrow cos\gamma = 1 \Rightarrow \gamma = 90^\circ[/tex]

Тогава

[tex]4S = a^2 + b^2 = 2ab \Rightarrow a = b \Rightarrow \alpha = \beta = 45 ^\circ[/tex]

[strangerforever]

2 б)

Нека първият член е a.

Имаме

[tex]S_{2012} \le S_n \Leftrightarrow \frac{2a + 2011}{2}.2012 \le \frac{2a + n - 1}{2}.n \Leftrightarrow 4024a + 2011.2012 \le 2an + n^2 - n \Leftrightarrow[/tex]

[tex]n^2 + n(2a-1) - 4024a - 2011.2012 \ge 0[/tex]

Това неравенство е вярно за всяко n тогава и само тогава, когато [tex]D = (2a-1)^2 + 4.4024a + 4.2011.2012 = (2a + 4023)^2 \le 0 \Leftrightarrow a = -\frac{4023}{2}[/tex]

[stflyfisher]

2 б)

[tex]n^2 + n(2a-1) - 4024a - 2011.2012 \ge 0[/tex]

Това неравенство е вярно за всяко n тогава и само тогава, когато [tex]D = (2a-1)^2 + 4.4024a + 4.2011.2012 = (2a + 4023)^2 \le 0 \Leftrightarrow a = -\frac{4023}{2}[/tex]

Хм. Нека [tex]a=-2011=>[/tex]

[tex]n^2 + n(2.(-20111) -1)- 4024.(-2011) - 2011.2012 \ge 0[/tex]

Направете сметките...

п.п. Иска се за [tex]\foral n \in N,[/tex], а не [tex]\foral n \in \Re[/tex].

[strangerforever]

Тогава има (нецели) стойности на n, за които неравенството не е вярно Изрично е споменато, че неравенството е вярно за всяко n, изразът [tex]S_{n}[/tex] може да се додефинира за всяко n. Макар че, ако трябва да си говорим за авторова идея, най-вероятно в авторовото решение задачата е решена при неравенството вярно само за естествени n.

[mkmarinov]

Записваме неравенството като
[tex](n-2012)(n+2011+2a) \ge 0[/tex], искаме да е изпълнено [tex]\forall n \in N[/tex]
Трябва 'коренът' във вторите скоби да е по-голям от 2013 и по-малко от 2011, откъдето
[tex]a \in [-2012;-2011][/tex]

П.С. Следващият, който напише "за за всяко" му вадя ръката от рамото!

[Xixibg]

Тогава има (нецели) стойности на n, за които неравенството не е вярно Изрично е споменато, че неравенството е вярно за всяко n, изразът [tex]S_{n}[/tex] може да се додефинира за всяко n. Макар че, ако трябва да си говорим за авторова идея, най-вероятно в авторовото решение задачата е решена при неравенството вярно само за естествени n.

[tex]n[/tex] е индекс в аритметична прогресия и задължително е цяло..........След като един път като индекс е определено за цяло не е задължително да се споменава отново.Така да се каже при така даденото условие се търсят стойностите на [tex]a[/tex] ,за всяко цяло [tex]n[/tex].

[Xixibg]

12.1.[tex]2^x(2^x-a)x-2^x(a-2^x)=(a-3)(x+1)[/tex]
[tex]a) a=3 ; =>2^x(2^x-3)x-2^x(3-2^x)=0[/tex]
[tex]2^x(2^x-3)x+2^x(2^x-3)=0[/tex]
[tex]2^x(2^x-3)(x+1)=0[/tex]
[tex]x_1=-1[/tex]
[tex]2^x(2^x-3)=0 ; =>2^x=3 ; => x=log_{2}3[/tex]

[tex]b)2^x(2^x-3)x+2^x(2^x-3)=(a-3)(x+1)[/tex]
[tex]=>2^x(2^x-3)(x+1)=(a-3)(x+1)[/tex]
[tex]=>[2^x(2^x-3)-a+3](x+1)=0[/tex] Полагаме [tex]2^x=y>0[/tex]
[tex]=>[/tex] Търсим [tex]y_1\in (0;1) ; y_2\ge 1[/tex]
[tex]=>y^2-3y-a+3=0[/tex]
[tex]D=9+4a-12=4a-3 \ge 0 ; =>a\ge\frac{3}{4}[/tex]
[tex]y_1=\frac{3-\sqrt{4a-3}}{2}\in(0;1) => a\in (1;3)[/tex] (1)
[tex]y_1=\frac{3+\sqrt{4a-3}}{2} \ge 1 ; =>a\in [\frac{3}{4} ;\infty)[/tex] (2)
[tex]1)\cap 2) =>a\in (1;3)[/tex]

[Xixibg]

12.2[tex]a) k(O,r) ; k_1(O_1,r_1=3\sqrt{2}-4)[/tex]
[tex]OC=r\sqrt{2} ; O_1C=\sqrt{2}(3\sqrt{2}-4)=6-4\sqrt{2}[/tex] (Питагорова теорема)
[tex]OC=r+r_1+O_1C=r+3\sqrt{2}-4+6-4\sqrt{2}=r+2-\sqrt{2}[/tex]
[tex]=>r\sqrt{2}=r+2-\sqrt{2}[/tex]
[tex]=>r(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}[/tex]
[tex]=>r=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}[/tex]

б)[tex]sin 15^\circ =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} ; cos 15^\circ =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex]
[tex]AC=ABcos 15^\circ =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.AB[/tex]
[tex]BC=AB.sin 15^\circ =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.AB[/tex]
[tex]S=p.r =\frac{1}{2}.c(1+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})\sqrt{2}=c.\frac{(2+\sqrt{6})\sqrt{2}}{4}=c.\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}[/tex] (1)
[tex]S=\frac{ab}{2}=c^2.\frac{1}{2}.\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{16}=\frac{1}{8}.c^2[/tex] (2)
[tex](1),(2) =>c.\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{8}.c^2 ; =>c=4(\sqrt{3}+\sqrt{2})[/tex]

[stflyfisher]

П.С. Следващият, който напише "за за всяко" му вадя ръката от рамото!

Това не го разбирам...

[inveidar]

12.1.[tex]2^x(2^x-a)x-2^x(a-2^x)=(a-3)(x+1)[/tex]
[tex]a) a=3 ; =>2^x(2^x-3)x-2^x(3-2^x)=0[/tex]
[tex]2^x(2^x-3)x+2^x(2^x-3)=0[/tex]
[tex]2^x(2^x-3)(x+1)=0[/tex]
[tex]x_1=-1[/tex]
[tex]2^x(2^x-3)=0 ; =>2^x=3 ; => x=log_{2}3[/tex]

[tex]b)2^x(2^x-3)x+2^x(2^x-3)=(a-3)(x+1)[/tex]
[tex]=>2^x(2^x-3)(x+1)=(a-3)(x+1)[/tex]
[tex]=>[2^x(2^x-3)-a+3](x+1)=0[/tex] Полагаме [tex]2^x=y>0[/tex]
[tex]=>[/tex] Търсим [tex]y_1\in (0;1) ; y_2\ge 1[/tex]
[tex]=>y^2-3y-a+3=0[/tex]
[tex]D=9+4a-12=4a-3 \ge 0 ; =>a\ge\frac{3}{4}[/tex]
[tex]y_1=\frac{3-\sqrt{4a-3}}{2}\in(0;1) => a\in (1;3)[/tex] (1)
[tex]y_1=\frac{3+\sqrt{4a-3}}{2} \ge 1 ; =>a\in [\frac{3}{4} ;\infty)[/tex] (2)
[tex]1)\cap 2) =>a\in (1;3)[/tex]

Е, защо пък втория корен трябва да е по-голям или равен на едно(говоря за игреците)?! И първия трябва да е различен от [tex]\frac{1}{2 }[/tex], нали така?! А и от къде накъде си заместил в б) а-то с 3 в лявата страна?!?!?!

[Xixibg]

Ами ако и 2-та игрека са по-малки от 1 ще има 3 отрицателни корена ,а се иска точно два.Не мисля ,че трябва да е различен от [tex]\frac{1}{2}[/tex] ,защото не е казано че корените трябва да са различни.Уравнението[tex](x+1)^2=0[/tex] има 2 корена [tex]x_1=x_2=-1[/tex].А съм заместил а-то с 3 по погрешка от предната под-точка .Когато работиш с "copy" , "paste" се случват такива неща.Ще трябва да го пиша пак

[Xixibg]

12.1
[tex]b)2^x(2^x-a)x+2^x(2^x-a)=(a-3)(x+1)[/tex]
[tex]=>2^x(2^x-a)(x+1)=(a-3)(x+1)[/tex]
[tex]=>[2^x(2^x-a)-a+3](x+1)=0[/tex] Полагаме [tex]2^x=y>0[/tex]
[tex]=>[/tex] Търсим [tex]y_1\in (0;1) ; y_2\ge 1[/tex]
[tex]=>y^2-ay-a+3=0[/tex]
[tex]D=a^2+4a-12=(a-2)(a+6) \ge 0 ; =>a\in (-\infty;-6]\cup [2;\infty ) (DM)[/tex]
[tex]y_1=\frac{a-\sqrt{(a-2)(a+6)}}{2}\in(0;1) => a\in (2;3)[/tex] (1)
[tex]y_2=\frac{a+\sqrt{(a-2)(a+6)}}{2} \ge 1 ; =>a\ge 2[/tex] (2)
[tex]1)\cap 2)\cap DM =>a\in (2;3)[/tex]

Трябва да се разгледа и случая [tex]y_1<0 ; y_2\in (0;1)[/tex] в който няма решение

[inveidar]

Да има точно две отрицателни решения означава две отрицателни и нищо повече. Това означава, че първо трябва да проверим какво става, ако y=-[tex]\frac{1}{ 2}[/tex] е решение на второто уравнение. След това, ако не е, трябва второто уравнение да има едно y от интервала [tex](0;\frac{1}{2 })\cup (\frac{1}{2 };1)[/tex], а другото y да е по-малко или равно на нула, защото в противен случай ще има и един положителен хикс. Така го разбирам аз, а какво са имали впредвид авторите на задачата ще разберем, може би, като проверят олимпиадите!

[Xixibg]

Да двусмислено е.Защото ако има 3 решения от който 1 положително и 2 отрицателни изпълнява условието според мен.....A пък и условието да има точно 2 решения т.е [tex]y_1<0 , y_2>0[/tex] води до празен интервал.
Нека да изчакаме авторите да дадат решение

[ptj]

Да двусмислено е.Защото ако има 3 решения от който 1 положително и 2 отрицателни изпълнява условието според мен..... Нека да изчакаме авторите да дадат решение

Няма двусмислие - имаш бройно числително и прилагателно поясняващи едно съществително. Свойствата, които му преписват те, са свързани посредством логически съюз "и", а не "или" (според правилата на българската граматика).
Твоята интерпетация съответства на "две от решенията са отрицателни".

[strangerforever]

Да двусмислено е.Защото ако има 3 решения от който 1 положително и 2 отрицателни изпълнява условието според мен..... Нека да изчакаме авторите да дадат решение

Няма двусмислие - имаш бройно числително и прилагателно поясняващи едно съществително. Свойствата, които му преписват те, са свързани посредством логически съюз "и", а не "или" (според правилата на българската граматика).
Твоята интерпетация съответства на "две от решенията са отрицателни".

Това не е вярно. Може да означава и двете. Точно двусмислица си е, тези неща винаги се уточняват, условието е зададено некоректно.

[ganka simeonova]

1б) зад за 12 клас:
Отг: [tex]a\in (2; \frac{13}{ 6} )\cup (\frac{13}{ 6} ; 3)[/tex] , защото пти [tex]a=\frac{13}{6 } =>y=\frac{1}{ 2} =>x=-1[/tex], но той вече е получен.

[Xixibg]

Между другото никой не се пробва на 3-тата задача за 12 клас......
Ще пусне ли някой решение или да напиша аз , че от спорове остана нерешена

[ganka simeonova]

"б) Намерете стойностите на параметъра а, за които уравнението има
точно две отрицателни решения."
Условието си е много коректно даже!

[Xixibg]

Госпожо Симеонова
Искам да попитам уравнението [tex](x+1)^2=0[/tex],колко решения има?Защото в основната теорема на алгебрата е казано ,че всеки полином от [tex]n[/tex]-та степен има точно [tex]n[/tex] на брой корени.

[ganka simeonova]

Хихи, няма да споря и да превръщам темата в спам. Казах, каквото имаше да казвам!

[strangerforever]

"б) Намерете стойностите на параметъра а, за които уравнението има
точно две отрицателни решения."
Условието си е много коректно даже!

Как се разбира дали е "точно 2 решения, които са отрицателни, но може и други да има" или "точно 2 решения общо, които са отрицателни"?