Задачи по алгебра срещу заплащане

[Людмил]

Имам 33 задачи като задание по СМИРМ СДК "Учител по математика". Условията и начинът на оценяване са дадени най-долу в документа. Ако някой може да ги реши или поне 18-20 от тях, моля да се свърже с мен да се разберем (срещу заплащане).

GSM: 0878 759 931

[peyo]

Имам 33 задачи като задание по СМИРМ СДК "Учител по математика". Условията и начинът на оценяване са дадени най-долу в документа. Ако някой може да ги реши или поне 18-20 от тях, моля да се свърже с мен да се разберем (срещу заплащане).

GSM: 0878 759 931

18 зад. Да се намерят всички полиноми f(x) , за които f(2-x)=f(x) за всяко x.

Колко интересно, аз винаги съм харесвал функционалните уравнения! Да видим.

$2-x = x$
$x = 1$

Точката x e симетрична точка около която се въртят функциите. Търсим полином кой само зависи от разстоянието до x=1. Тоест търсим функция f(|x-1|).

Но не можем да сложим просто модул, защото модула не е част от полиномите, затова следващото най-добро е квадратната степен, която е един вид модул. И така търсения полином f става:

[tex]f(x) = \sum_{x=0}^{n }a_k(x-1)^{2k}[/tex]


------------------------

Относно заплащането. Аз решавам задачи за без пари и за забавление. Мисля, че имаше някакви сайтове където човек може да си наеме учител по математика на час.

[Kre4etalo]

Да разбирам ли, че СДК представлява едногодишно обучение, след което хора със съвсем различно образование могат да станат учители по математика?
Ясно е, че една година съвсем не е достатъчно за придобиване на добри умения за учител по математика, но да кажем, че при добра воля и усилия от страна на обучаемите и обучаващите могат да се постигнат прилични резултати.
Вие обаче искате някой да ви решава задачи, които явно представляват нещо като курсов проект или задочен изпит. Разбирате колко недопустимо е това, но ще се повторя - не стига, че това обучение е твърде кратко, ами и вие дори искате някой друг да ви реши изпита. Какви умения ще придобиете? Как, след като вземете дипломата, ще преподавате на ученици?
Отделно от това, такъв тип действия са определено измамнически. А след това от Вас се окачва да следите за спазването на правилата и санкционирането на такива похвати сред учениците. Ако първо вие не коригирате това си поведение, се съмнявам, че ще следите то да не се проявява сред учениците ви и че ще вземате съответните мерки, ако се проявява.

Разбирам, че задачите са доста и надали много хора биха отговаряли по това време на годината, но най-добрият вариант е просто да ги публикувате в отделни теми и да потърсите напътствия за решаването им.

[Kre4etalo]

Ще реша задача 23 а). Другата подточка е сходна, 24-та също.

Логично е да се насочим към теоремата на Ойлер-Ферма. [tex]341[/tex] се разлага като $11.31$. От спомената теорема (в частния случай за прости числа) $2^{10}\equiv 1 (mod\ 11)$, $2^{30}\equiv 1 (mod\ 31)$. Ще повдигаме тези сравнения на подходящи степени и допълнително ще нагласяваме, за да получим във всяко от тях степен 341. От първото сравнение, след повдигане на $34$-та степен, получаваме $2^{340}\equiv 1(mod\ 11)$; сега умножаваме с 2 и получаваме $2^{341}\equiv 2(mod\ 11)$. Подобно във второто, при повдигане на $11$-та степен получаваме $2^{330}\equiv 1 (mod\ 31)$. Сега остава да умножим с $2^{11}$ и получаваме $2^{341}=2^{11}(mod\ 31)$. Хубаво е да редуцираме $2^{11}$. Директно пресмятане показва $2^{11}=2^5\cdot 2^5\cdot 2\equiv 1\cdot 1\ cdot 2\equiv 2(mod\ 31)$, така че $2^{341}\equiv 2 (mod\ 31)$.
Какво имаме до момента: $2^{341}\equiv 2(mod\ 11)$ и $2^{341}\equiv 2(mod\ 31)$. Дали оттук следва, че $2^{341}$ е $2$ по модул произведението на двата модула? Отговорът е да, причината - Китайската теорема за остатъците. Грубо казано, тя твърди, че когато имаме система сравнения от вида $x\equiv a(mod\ m_1),\ x\equiv b (mod\ m_2)$, където $m_1,\ m_2$ са взаимно прости, то съществува единствено решение на тази системат по модул $m_1m_2$. При нас $2^{341}$ удовлетворява подобна система с $a=b=2$, $m_1=11,\ m_2=31$ -
$x\equiv 2(mod\ 11),\ x\equiv 2 (mod\ 31)$ От друга страна, числото $2$ също очевидно удовлетворява тази система. Понеже решението е единствено по модул $11\cdot 31$ получаваме исканото сравнение.
Това е класически подход за опростяване на сравнения, при които модулът не е просто число, а произведение на няколко такива. Обикновено получената система трябва да се реши, и да се намери крайният отговор - единственото решение на системата. В случая се възползвахме от съвпадението $a=b(=2)$, за да кажем веднага, че самото число $a(=2)$ е решение.

Числото $341$ се нарича псевдопросто число на Ферма за база 2, причините са логични - изпълнява сравнение тип теоремата на Ферма, където участва като модул, само, че не е просто (а при Ферма имаме прости модули). Изпълнява го обаче за основата $2$, за други основи може да не е в сила.

Втората подточка се решава по абсолютно същия начин, дори е малко по-лесна, макар че се стига до система от три уравнения. Това число има дори по-интересно свойство - нарича се число на Кармайкъл (Carmichael) (или псевдопросто на Ферма за всяка основа (взаимно проста с него)) и изпълнява резултат тип теоремата на Ферма за всички основи взаимно прости с него ($341$ изпълнява такова сравнения за основа $2$).

Числото от задача 24 пък е отново само псевдопросто на Ферма за база $2$ (не е число на Кармайкъл). Оказва се, че това е първото четно пседвопросто на Ферма за база $2$. Повече информация по тези въпроси може да се види например в линк1, линк2, линк3.

[peyo]

19 зад. Да се намерят всички полиноми, за които $f \left (sin {x} \right ) =f \left (cos {x} \right )$ за всяко x .

$sinx = cos x$

Да видим как изглежда:

sin_cos342.png (50.97 KiB) Прегледано 2354 пъти

Да решим уравнеието:

In [221]: print(latex(solve(sin(x)-cos(x))))
$\left [ - \frac{3 \pi}{4}, \quad \frac{\pi}{4}\right ]$

Или $\frac{\pi}{4} + j\pi$

Като гледаме картинката едната крива е симетрична на другата спрямо решенията, например точката x= $ \frac{\pi}{4}$

Значи е достъчно полинома да зависи само от разстоянието то някой корен.
$f = f(|x-\frac{\pi}{4}|)$

Отново модул става четна степен.

И така всички решения са много:
[tex]f(x) = \sum_{k=0}^{n }a_k(x-\frac{\pi}{4}+ j\pi)^{2k}[/tex]

[Kre4etalo]

...
И така всички решения са много:
[tex]f(x) = \sum_{k=0}^{n }a_k(x-\frac{\pi}{4}+ j\pi)^{2k}[/tex]

За съжаление отговорът (и решението) ти, колега, не е верен. Първо, не е ясно, какво е това $j$, зависи ли от $k$ или $n$ по някакъв начин. Ако приемем, че е (коя да е) константа, то например $f(x)=(x-c)^2$ (за някаква константа $c$) трябва да е решение. Директна проверка показва, че равенството $(\sin x-c)^2=(\cos x-c)^2$ не е изпълнено за всяко $x$ (например, няма как да е изпълнено при $x=0$ и при $x=\pi/3$ едновременно), т.е. уравнението от условието на задачата не е налице.

За да решим задачата ще използваме един факт, който може да се използва съществено и за решението на 18-та задача.

Факт. Известно е, че полином $p$ и число $a$ са такива че $p(x)=p(a-x)$ за безброй много $x$ (всяко равенство между полиноми на еднa променлива, което е изпълнено за безброй много $x$, е изпълнено всъщност за всички $x$. Защо?) Тогава полиномът
$\displaystyle q(x)=p\left(\frac{a}{2}-x\right)$ е четен.

Доказателството - подходящо приложение на свойството на $p$ - помислете.

Към задачата. Понеже $\cos$ е четна функция, то $f(\cos x)$ е четна функция. Следователно $f(\sin x)$ също е четна функция. Но синусът е нечетна функция. Това означава, че $f$ трябва да бъде четен полином. Помислете защо (допуснете, че $f$ има нечетни степени и разпишете равенството $f(x)-f(-x)=0$ (например)). Доказателството, че $f$ е четен, може да се направи и по друг начин изначално (подходящо заместване в уравнението, което е дадено).
Щом $f$ е четен, то $f(x)=g(x^2)$ за някакъв полином $g$. Тогава $g(\sin^2 x)=g(\cos^2 x)$. Това разбира се означава, че $g(\sin^2 x)=g(1-\sin^2 x)$, откъдето $g(t)=g(1-t)$ за всяко $t\in [0,1].$ Съгласно факта получаваме, че $h(x)=g\left(\frac{1}{2}-x\right)$ е четен полином. Значи съществува полином $r$ такъв че $h(x)=r(x^2).$ Съответно $$g(x)=h\left(\frac{1}{2}-x\right)=r\left(\left(\frac{1}{2}-x\right)^2\right).$$
В крайна сметка $$f(x)=g(x^2)=r\left(\left(\frac{1}{2}-x^2\right)^2\right)=r\left(x^4-x^2+\frac{1}{4}\right),$$
т.е. необходимо е $f$ да има този вид за някой полином $r$, за да бъде изпълнено $f(\sin x)=f(\cos x)$. От друга страна, всеки полином $f$ в този вид (за произволен полином $r$) изпълнява условието на задачата. Действително, достатъчно е да се провери, че при заместване в $x^4-x^2+\frac{1}{4}$ със $\sin x$ и с $\cos x$ (на мястото на $x$) получаваме едно и също нещо.

Друг начин на записване нa общият вид на $f$ - за произволно естествeно $n$ и произволни числа $a_0,a_1,\cdots, a_n$
$$f(x)=\sum_{k=0}^n a_k \left(x^4-x^2+\frac{1}{4}\right)^k.$$
Може да се съобрази, че еквивалентен запис (тоест всеки от изразите може да се запише във вида на другия израз) е
$$f(x)=\sum_{k=0}^n c_k \left(x^2(1-x^2)\right)^k.$$
До този вид може да се стигне директно, ако се докаже и използва следният факт (вместо факта, който ние използвахме):

Факт 2. Известно е, че полином $p$ и число $a$ са такива че $p(x)=p(a-x)$ за безброй много $x$. Тогава съществува полином $q$, такъв че $p(x)=q(x(a-x)).$

Доказателство оставям на вас.

Бележка към предния ми пост: без да искам в последните две връзки съм сложил адрес на една и съща страница. Тази страница исках да сложа на мястото на "линк3".

[S.B.]

Имам 33 задачи като задание по СМИРМ СДК "Учител по математика". Условията и начинът на оценяване са дадени най-долу в документа. Ако някой може да ги реши или поне 18-20 от тях, моля да се свърже с мен да се разберем (срещу заплащане).

GSM: 0878 759 931

Човек чете вашата обява и се замисля.
Вие сте готов да платите на някой да Ви реши 33 задачи (без да смятате подусловията!) ,вместо да си купите направо заветния сертификат,който ще Ви даде право след едногодишно обучение (Обидно малко!) да се изправите пред децата ни и да ги ...ОБУЧАВАТЕ ПО МАТЕМАТИКА! Защо ли? Ами защото си правите тънката сметка,че така ще Ви излезе много по- евтино,а и няма опастност да Ви обвинят в даване на подкуп или меко казано в КОРУПЦИЯ.
Е добре!Двама наши колеги Ви подариха една задача.Как оценявате сложността на задачата и трудът който те са положили (независимо,че решението на единият от тях се оказа не дотам вярно)?Давате ли си сметка колко време тези мои колеги са инвестирали в себе си за да могат да решават задачи или за Вас това няма значение?
Ако се обмислят задачите,които искате да Ви се решат и се направи калкулация на времето и средствата,които са инвестирали в себе си хората,които се наемат да ги решат и да Ви ги представят в необходимия формат,то тогава повярвайте,че сумата,която ще трябва да заплатите в никакъв случай няма да е по-малка от сумата която ще трябва да заплатите за закупуване на нужният Ви сертификат.
Най-добре ще бъде или да се съсредоточите върху изпитния материал и да се опитате със знанията си да получите заветния сертификат или се откажете.Не е задължително всеки който има някакви знания да става учител по математика
Моето обучение продължи цели 5 години в СУ "Климент Охридски", не броя колко изпита положих през тези години.Имам две квалификации едната от които е Преподавател по математика.
Искате да кажете ,че след едногодишният курс,който сте изкарали и след като някой Ви реши курсовата работа ние с Вас ще бъдем "колеги"?Звучи обидно!

[peyo]

...
И така всички решения са много:
[tex]f(x) = \sum_{k=0}^{n }a_k(x-\frac{\pi}{4}+ j\pi)^{2k}[/tex]

За съжаление отговорът (и решението) ти, колега, не е верен. Първо, не е ясно, какво е това $j$, зависи ли от $k$ или $n$ по някакъв начин. Ако приемем, че е (коя да е) константа, то например $f(x)=(x-c)^2$ (за някаква константа $c$) трябва да е решение. Директна проверка показва, че равенството $(\sin x-c)^2=(\cos x-c)^2$ не е изпълнено за всяко $x$ (например, няма как да е изпълнено при $x=0$ и при $x=\pi/3$ едновременно), т.е. уравнението от условието на задачата не е налице.

Да, моя грешка! Отговора на Kre4etalo е верния.

[Jack]

Задача $13$
Решение на задачата може да намерите ето тук.

Задача $23$
А)
$2^{1} \equiv 2 mod 341$
$2^{2} \equiv 4 mod 341$
$2^{3} \equiv 8 mod 341$
$2^{4} \equiv 16 mod 341$
$2^{5} \equiv 32 mod 341$
$2^{6} \equiv 64 mod 341$
$2^{7} \equiv 128 mod 341$
$2^{8} \equiv 256 mod 341$
$2^{9} \equiv 171 mod 341$
$2^{10} \equiv 1 mod 341$
$2^{11} \equiv 2 mod 341$

Има периодичност на всеки десет числа.

$341 \equiv 1 mod 10$. Доказахме, че $2^{341} \equiv 2 mod 341$

Б)
Подобен начин на А).

Имаме периодичност на всеки $40$ числа.

$561 \equiv 1 mod 40$

[peyo]

29 зад. Да се реши уравнението $14 {x} ^ {2} +23 {y} ^ {2} -34xy+6x-12y+3=0$

Това е малко смешна задача, защото това не прилича много-много на уравнение.

Да видим екстремуми има ли тази 3D функция?

In [42]: var("x,y")
Out[42]: (x, y)

In [43]: p = 14*x**2 +23*y**2 -34*x*y+6*x-12*y+3

In [44]: solve([p.diff(x), p.diff(y)])
Out[44]: {x: 1, y: 1}

Дали (1,1) нe е решение случайно?

In [45]: p.subs(x,1).subs(y,1)
Out[45]: 0

Ха! Оказа се решение в точка която е минимум или максимум, Но сигурно е минимум, защото пред квадратите няма минус, но не е важно.

Дотук добре, а дали има и други решения?

Хмм.... Сложен въпрос. Функцията има само един минимум, значи може би няма как в друга точка да пресече z=0... Но може би е възможно да се завърти надолу някак.

Да се опитаме да пренапишем в по-особен (чети по-удобен) вид:

$14 {x} ^ {2} - 14x + 14x + 23 {y} ^ {2} -23y + 23y -34xy + 34y - 34y +6x -6 +6 -12y +12 -12 +3=0$

$14 {x}(x - 1) + 14x + 23 {y}(y -1) + 23y -34y(x - 1) - 34y +6(x -1) -12(y-1) -3=0$

$(x - 1)(14 {x} -34y+6) + 14x + (y -1)(23 {y} -12) + 23y - 34y -3=0$

$(x - 1)(14 {x} -34y+6) + (y -1)(23 {y} -12) + 14x -14 +14 - 11y +11 -11 -3=0$

$(x - 1)(14 {x} -34y+6) + (y -1)(23 {y} -12) + 14(x -1) +14 - 11(y -1) -14=0$

$(x - 1)(14 {x} -34y+20) + (y -1)(23 {y} -23) =0$

$(x - 1)(14 {x} -34y+20) + 23(y -1)^2 =0$

И сега да решим системата
[tex]\begin{array}{|l} 14 {x} -34y+20 = 0 \\ y -1 = 0 \end{array}[/tex]

$14 {x} -14 = 0 $
$x=1$

Оказа се, че ве пак има още две решения, но те пак са (1,1). Много интересно дали имаше нужда от втората част.

[Kre4etalo]

29 зад. Да се реши уравнението $14 {x} ^ {2} +23 {y} ^ {2} -34xy+6x-12y+3=0$

Можем да забележим, че $$14 {x} ^ {2} +23 {y} ^ {2} -34xy+6x-12y+3=\frac{(14x-17y+3)^2+33(y-1)^2}{14}.$$

Как го забелязваме?

[peyo]

29 зад. Да се реши уравнението $14 {x} ^ {2} +23 {y} ^ {2} -34xy+6x-12y+3=0$

Можем да забележим, че $$14 {x} ^ {2} +23 {y} ^ {2} -34xy+6x-12y+3=\frac{(14x-17y+3)^2+33(y-1)^2}{14}.$$

Как го забелязваме?

Аз бих се опитал да забележа нещо такова ако се бях сетил да търся преобразование към сума от квадрати. Но нямаше да го видя, а щях да пробвам да намеря такова по метода на неопределените коефиценти сигурно.

[peyo]

26 зад. Да се реши в цели числа уравнението
а) $xy=5x+8y$

Това е забавна задача!

$xy=xy(5/y+8/x)$

$1=5/y+8/x$

Значи трябва y>5 и x>8. Но това може би не е важно.

И сега да помислим кога две части дават едно цяло? Когато са например 2 половини:
$1=5/10+8/16 = 1/2 + 1/2 = 1$
Или когато са една трета и две трети:
$1=5/15+8/12 = 1/3 + 2/3 = 1$
Забелязваме зависимост вече. Всяка 1/k част + (k-1)/k част ще ни даде решение:

[tex]\begin{array}{|l} 5/y = 1/k \\ 8/x = (k-1)/k \end{array}[/tex]

$x=\frac{8k}{k-1}$
$y=5k$

Явно k не може да е 1.
k = 2 x=16,y=10
k = 3 x=12,y=15
k = 4 x=10.666666666666666,y=20

Хммммм. Това x трябваше да е цяло число.

$x=\frac{8k}{k-1} = \frac{8k -8 +8}{k-1} = 8 + \frac{8}{k-1} $

Аха! Само тези k които -1 делят 8 ще ни свършат работа:
k = 2,3,5,9 и след това стават по-големи от 8, значи са само тези.

Да видим:

Код: Избери целия код

In [90]: [ [k,8*k/(k-1), 5*k] for k in np.arange(2,21,1)]
Out[90]:
[[2, 16.0, 10],
 [3, 12.0, 15],
 [4, 10.666666666666666, 20],
 [5, 10.0, 25],
 [6, 9.6, 30],
 [7, 9.333333333333334, 35],
 [8, 9.142857142857142, 40],
 [9, 9.0, 45],
 [10, 8.88888888888889, 50],
 [11, 8.8, 55],
 [12, 8.727272727272727, 60],
 [13, 8.666666666666666, 65],
 [14, 8.615384615384615, 70],
 [15, 8.571428571428571, 75],
 [16, 8.533333333333333, 80],
 [17, 8.5, 85],
 [18, 8.470588235294118, 90],
 [19, 8.444444444444445, 95],
 [20, 8.421052631578947, 100]]

Точно както си мислихме е.

Добре, а какво става когато k е по-малко от 0 или k = -k?

$x= 8 + \frac{8}{-k-1} = 8 - \frac{8}{k+1}$

Само тези k които +1 делят 8 ще ни свършат работа:
k = 0,-1,-3,-7 и след това стават по-големи от 8, значи са само тези.

Код: Избери целия код

In [92]: [ [k,8*k/(k-1), 5*k] for k in np.arange(-15,1,1)]
Out[92]:
[[-15, 7.5, -75],
 [-14, 7.466666666666667, -70],
 [-13, 7.428571428571429, -65],
 [-12, 7.384615384615385, -60],
 [-11, 7.333333333333333, -55],
 [-10, 7.2727272727272725, -50],
 [-9, 7.2, -45],
 [-8, 7.111111111111111, -40],
 [-7, 7.0, -35],
 [-6, 6.857142857142857, -30],
 [-5, 6.666666666666667, -25],
 [-4, 6.4, -20],
 [-3, 6.0, -15],
 [-2, 5.333333333333333, -10],
 [-1, 4.0, -5],
 [0, -0.0, 0]]

И така намерихме всички 8 решения.

[pal702004]

peyo, тази задача моментално се пеобразува в $(x-8)(x-5)=40$

и решенията са повече.

Но нека спрем дотук и да не ставаме съучастници в измама...Този човек после ще учи децата ни на математика!!!

[peyo]

peyo, тази задача моментално се пеобразува в $(x-8)(x-5)=40$

и решенията са повече.

Но нека спрем дотук и да не ставаме съучастници в измама...Този човек после ще учи децата ни на математика!!!

Ха, вярно, така ще е по-лесно!

Да, аз видях още няколко интересни задачи, ама не бързам да ги решавам. Жалко, че не е дал краен срок, за да знаем кога ще е ок. Ще изчакам месец, два.