Няколко задачки за помощ

[Reny]

Здравейте,

Може ли някой да помогне със следните задачки :
1. sinα+sin2α+sin3α
2. cosα+cos2α+cos3α+cos4α
3. tgα+tg2α
4. 1+sinα+cosα

Благодаря предварително

[Davids]

А какво е условието на задачките? Да се опростят изразите?

[Reny]

А какво е условието на задачките? Да се опростят изразите?

да, решете изразите е условието

[Davids]

А какво е условието на задачките? Да се опростят изразите?

да, решете изразите е условието

"Решете изразите" само по себе си е малко безсмислено условие. Какво да им решим, та те са си изрази, без иразени зависимости (уравнения, неравенства), без ясен въпрос относно тях. Принципно не съм фен и на "опростете", защото в много ситуации "най-простата" форма за изразяване на нещо зависи от контекста. Най-съгласен бих бил на "разложете на множители", понеже всичките дадени изрази са сборове от тригонометрични случаи, което не е стандартният запис на резултати.

Както и да е, ще започна с първата, а ти ще ми кажеш, дали това се иска

1)
$sinx + sin2x + sin3x =$
$= sin2x + (sinx + sin3x) =$
$= sin2x + 2sin(\frac{x + 3x}{2})cos(\frac{x - 3x}{2}) =$
$= sin2x + 2sin2xcos(-x) =$
$= 2sin2x(\frac{1}{2} + cosx) =$
$= 2sin2x(cos\frac{\pi}{3} + cosx) =$
$= 2sin2x.2cos(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}).cos(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) =$
$= 4sin2x.cos(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}).cos(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2})$

Разложено на множители. Ще можеш ли аналогично (с подобни формули) да се справиш с останалите?
Ако не си наясно с формулите за сбор/произведение на тригонометрични функции, можеш да намериш всичко нужно за тези задачи тук: https://www.matematika.bg/algebra/sin-cos-tan-cot.html

[S.B.]

2. cosα+cos2α+cos3α+cos4α

[tex]cos\alpha + cos2\alpha + cos3\alpha + cos4\alpha \Leftrightarrow (cos\alpha + cos3\alpha) + (cos2\alpha + cos4\alpha) =[/tex]
$=2cos\frac{\alpha + 3\alpha}{2}.cos\frac{\alpha - 3\alpha}{2} + 2cos\frac{2\alpha + 4\alpha}{2}.cos\frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = $
$= 2cos2\alpha.cos(-\alpha) + 2cos3\alpha.cos(-\alpha) = 2cos\alpha(cos2\alpha + cos3\alpha) = $
$2cos\alpha.2cos\frac{2\alpha + 3\alpha}{2}.cos\frac{2\alpha - 3\alpha}{2} = 4cos\alpha.cos\frac{5\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2} =$
$4.cos\frac{\alpha}{2}.cos\alpha.cos\frac{5\alpha}{2}$

[S.B.]

3. tgα+tg2α

[tex]tg\alpha + tg2\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{sin2\alpha}{cos2\alpha} = \frac{sin\alpha.cos2\alpha + sin2\alpha.cos\alpha}{cos\alpha.cos2\alpha} = \frac{sin3\alpha}{cos\alpha.cos2\alpha}[/tex]

[S.B.]

4. 1+sinα+cosα

[tex]1 + sin\alpha + cos\alpha = (1 + cos\alpha) + sin\alpha = 2cos^{2}\frac{\alpha}{2} + 2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2} =[/tex]
$ = 2cos\frac{\alpha}{2}(cos\frac{\alpha}{2} + sin\frac{\alpha}{2}) = 2cos\frac{\alpha}{2}[cos\frac{\alpha}{2} + cos(90^\circ - \frac{\alpha}{2})] = $
$2cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}.2cos\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \displaystyle\frac{\alpha}{2}}{2}.cos\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\alpha}{2} - 90^\circ + \displaystyle\frac{\alpha}{2}}{2} = $
$4cos\frac{\alpha}{2}.cos45^\circ.cos(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ) =$
$ 2\sqrt{2}.cos\frac{\alpha}{2}.cos(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ)$

[Reny]

Много благодаря на Davids.
Първата задачка има отговор, който е :
4cosa/2*cosa*sin3a/2
Може ли някой да помогне с решението?

[Reny]

4. 1+sinα+cosα

[tex]1 + sin\alpha + cos\alpha = (1 + cos\alpha) + sin\alpha = 2cos^{2}\frac{\alpha}{2} + 2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2} =[/tex]
$ = 2cos\frac{\alpha}{2}(cos\frac{\alpha}{2} + sin\frac{\alpha}{2}) = 2cos\frac{\alpha}{2}[cos\frac{\alpha}{2} + cos(90^\circ - \frac{\alpha}{2})] = $
$2cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}.2cos\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \displaystyle\frac{\alpha}{2}}{2}.cos\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\alpha}{2} - 90^\circ + \displaystyle\frac{\alpha}{2}}{2} = $
$4cos\frac{\alpha}{2}.cos45^\circ.cos(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ) =$
$ 2\sqrt{2}.cos\frac{\alpha}{2}.cos(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ)$

Много благодаря за помощта!

[Гост]

Много благодаря на Davids.
Първата задачка има отговор, който е :
4cosa/2*cosa*sin3a/2
Може ли някой да помогне с решението?

А условието на първата задачка е..?

[Reny]

Много благодаря на Davids.
Първата задачка има отговор, който е :
4cosa/2*cosa*sin3a/2
Може ли някой да помогне с решението?

А условието на първата задачка е..?

Разложете на множители

[Гост]

Разложете на множители

Това е ясно!За кой от четрите израза се отнася?

[Reny]

За първата.

[Гост]

[tex]sin\alpha + sin2\alpha + sin3\alpha = sin\alpha + 2sin\frac{2\alpha + 3\alpha}{2}.cos\frac{2\alpha - 3\alpha}{2}=[/tex]
$sin\alpha + 2sin\frac{5\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2} = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} + 2sin\frac{5\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} = $
$2cos\frac{\alpha}{2}(sin\frac{\alpha}{2} + sin\frac{5\alpha}{2}) = 2cos\frac{\alpha}{2}.2sin\frac{\frac{\alpha}{2} + \frac{5\alpha}{2}}{2}cos\frac{\frac{\alpha}{2} - \frac{5\alpha}{2}}{2} = $
$4cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{3\alpha}{2}cos\alpha = 4cos\frac{\alpha}{2}.cos\alpha. sin\frac{3\alpha}{2}$

[Reny]

[tex]sin\alpha + sin2\alpha + sin3\alpha = sin\alpha + 2sin\frac{2\alpha + 3\alpha}{2}.cos\frac{2\alpha - 3\alpha}{2}=[/tex]
$sin\alpha + 2sin\frac{5\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2} = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} + 2sin\frac{5\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} = $
$2cos\frac{\alpha}{2}(sin\frac{\alpha}{2} + sin\frac{5\alpha}{2}) = 2cos\frac{\alpha}{2}.2sin\frac{\frac{\alpha}{2} + \frac{5\alpha}{2}}{2}cos\frac{\frac{\alpha}{2} - \frac{5\alpha}{2}}{2} = $
$4cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{3\alpha}{2}cos\alpha = 4cos\frac{\alpha}{2}.cos\alpha. sin\frac{3\alpha}{2}$

Много благодаря!