Тригонометрични функции - sin, cos, tg, cotg

Нека имаме ортонормирана координатна система 0xy с център О и окръжност с център О и радиус 1(такава окръжност се нарича еденична окръжност).

Нека P e точка от окръжността и t е ъгъла между PO и положителната посока на oста 0x тогава:

х-координатата на т. P се нарича косинус от t и се пише cos(t);
y-координатата на т. P се нарича синус от t и се пише sin(t);
числото sin(t)/cos(t) се нарича тангенс от t и се пише tg(t);
числото cos(t)/sin(t) се нарича котангенс от t и се пише cotg(t).

Синусова функция

sin : R -> R
Всички тригонометрични функции са периодичнки. Периода на sin е 2π.
sin(x) се изменя в интервала [-1,1].

Косинусова функция

cos : R -> R
Периода на cos е 2π.
cos(x) се изменя в интервала [-1,1]

Тангенс

tg : R -> R
Периода на tg e π, тангенсовата функция е недефинирана в стойност x = (π/2) + kπ, к=0,1,2,...
tg може да приема всички стойности от R.

Анимирана графика(отваря се в нов прозорец):
Графика на тангенс в интервала 0 - 2π

Котангенс

cotg : R -> R
Периода на cotg e π и функцията е недефинирана при x = kπ, к=0,1,2,...
cotg може да приема всички стойности от R.

Стойностите на sin, cos, tan, cotg за ъгли 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°

$\alpha^o$	$0^o$	$30^o$	$45^o$	$60^o$	$90^o$	$120^o$	$135^o$	$150^o$	$180^o$	$210^o$	$225^o$	$240^o$	$270^o$	$300^o$	$315^o$	$330^o$	$360^o$
$\alpha rad$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{7\pi}{6}$	$\frac{5\pi}{4}$	$\frac{4\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{2}$	$\frac{5\pi}{3}$	$\frac{7\pi}{4}$	$\frac{11\pi}{6}$	$2\pi$
$sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$
$cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$tg\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$
$cotg\alpha$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$-$

Лесен начин да запомните таблицата за основните стойности на sin и cos:
sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = корен квадратен([0, 1, 2, 3, 4]/4)

Основно тригонометрично тъждество

Ако имаме една t радиана ще имаме точно една точка от единичната окръжност P(cos(t),sin(t)). Квадрата от дължината на [OP] = 1
=>

cos²(t) + sin²(t) = 1

Зависимости спрямо ъгъла

Ако t + t' = 180° то:

sin(t) = sin(t')
cos(t) = -cos(t')
tg(t) = -tg(t')
cotg(t) = -cotg(t')

Ако t + t' = 90° то:

sin(t) = cos(t')
cos(t) = sin(t')
tg(t) = cotg(t')
cotg(t) = tg(t')

	$-\alpha$	$90^{\circ}-\alpha$	$90^\circ+\alpha$	$180^{\circ}-\alpha$
$\textrm{ sin }$	$-\textrm{ sin }\alpha$	$\textrm{ cos }\alpha$	$\textrm{ cos } \alpha$	$\textrm{ sin }\alpha$
$\textrm{ cos }$	$\textrm{ cos }\alpha$	$\textrm{ sin }\alpha$	$-\textrm{ sin} \alpha$	$-\textrm{ cos }\alpha$
$\textrm{ tg }$	$-\textrm{ tg }\alpha$	$\textrm{ cotg }\alpha$	$-\textrm{ cotg } \alpha$	$-\textrm{ tg }\alpha$
$\textrm{ cotg }$	$-\textrm{ cotg }\alpha$	$\textrm{ tg }\alpha$	$-\textrm{ tg } \alpha$	$-\textrm{ cotg }\alpha$

Tригонометрични формули

Формули за половинка ъгли

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
+ ако $\frac{\alpha}{2}$ е в квдрант | или ||
- ако $\frac{\alpha}{2}$ е в квдрант ||| или |V

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
+ ако $\frac{\alpha}{2}$ е в квдрант | или |V
- ако $\frac{\alpha}{2}$ е в квдрант || или |||

$tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$
+ ако $\frac{\alpha}{2}$ е в квдрант | или |||
- ако $\frac{\alpha}{2}$ е в квдрант || или |V

$\textrm{ cotg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$
+ ако $\frac{\alpha}{2}$ е в квдрант | или |||
- ако $\frac{\alpha}{2}$ е в квдрант || или |V

$\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ cotg }\alpha$

$\textrm{ cotg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ cotg }\alpha$

Формули за двоен/троен ъгъл

$\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$

$\cos(2u) = \cos^2(u) - \sin^2(u) = 2\cos^2(u) - 1 = 1 - 2\sin^2(u)$

$\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }^2(u)}$

$\cos(2u) = \frac{1 - \textrm{ tg }^2(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$

$\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4 \sin^3\alpha$

$\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3 \cos\alpha$

$\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }^3\alpha}{1-3\textrm{ tg }^2\alpha}$

$\textrm{ cotg }3\alpha=\frac{\textrm{ cotg }^3\alpha-3\textrm{ cotg }\alpha}{3\textrm{ cotg }^2\alpha-1}$

$\sin4\alpha = 4\cos^3\alpha\sin\alpha - 4\cos\alpha \sin^3\alpha$

$\cos4\alpha = \cos^4\alpha - 6\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$

$\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha - 4\textrm{ tg }^3\alpha}{1-6\textrm{ tg }^2\alpha+\textrm{ tg }^4\alpha}$

$\textrm{ cotg }4\alpha=\frac{\textrm{ cotg }^4\alpha-6\textrm{ cotg }^2\alpha+1}{4\textrm{ cotg }^3\alpha-4\textrm{ cotg }\alpha}$

Формули за намаляване на степента

$\sin^2(\alpha)=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

$\sin^3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$

$\sin^4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) - 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$

$\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

$\cos^3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

$\cos^4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$

Сума и разлика на ъгли

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 - \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$

$\textrm{ cotg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ cotg }(\beta)\textrm{ cotg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ cotg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma - \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma - \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $
$- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma - \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta - \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$

Формули за сбор/разлика на тригонометрични функции

$\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ sin } \alpha - \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha - \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ cotg }\alpha + \textrm{ cotg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

$\textrm{ cotg }\alpha - \textrm{ cotg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

Формули за умножение на тригонометрични фукнции

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) - \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha - \beta))$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ cotg }\alpha+\textrm{ cotg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ cotg }\alpha-\textrm{ cotg }\beta}$

$\textrm{ cotg }\alpha\textrm{ cotg }\beta = \frac{\textrm{ cotg }\alpha+\textrm{ cotg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ cotg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ cotg }\beta}{\textrm{ cotg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

Универсални субституции

Изразяване на тригонометричните функции чрез $\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}$.
Положете $t = \textrm{tg}\frac{\alpha}{2}$

$\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{cotg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$

Още тригонометрични формули

$1\pm\sin\alpha=2\sin^2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos^2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$

$\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

$\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }^2\frac{\alpha}{2}$

$\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$

$\frac{\textrm{ cotg }\alpha + 1}{\textrm{ cotg }\alpha - 1} = \textrm{ cotg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ cotg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$

$\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ cotg }\alpha = -2\textrm{ cotg }2\alpha$

Задачи за упражнение

Задача 1:
Да се реши уравнението sin⁴x + cos⁴x = cos2x + 1/2

Задача 2:
Да се реши уравнението sin2x.sin5x = sinx.sin6x

Задача 3:
Да се реши тригонометричното уравнение sin(x + 75°) + sin(x + 15°) = √6.1/2

Задача 4:
Да се реши тригонометричното уравнение
sin2x - 2cos²x + 5cosx = 0

Задача 5:
При кои стойности на реалния параметър p, уравнението има решение
1 + psinx = p² - sin²x

Още тригонометрия

Програма за чертаене на графики
Задачи върху тригонометрия

Форум за тригонометрия
Форум за тригонометрия - архив