Формули за първата производна на фунцкия

y е функция y = y(x)
C = const, производната(y') на константа е 0

пример: y = 5, y' = 0

Ако y е функция от типа y = xⁿ, първата производна се намира по формулата:

пример: y = x³ y' = 3x^3-1 = 3x²
y = x^-3 y' = -3x^-4

От формулата по-горе може да направим извода за производната y' на y = x = x¹

Тази формула ни дава първата производна на функция, която е сбор от функции.
пример: Ако са дадени две функции f(x) = x² + x + 1 и g(x) = x⁵ + 7, и y = f(x) + g(x), y' = f'(x) + g'(x) => y' = (x² + x + 1)' + (x⁵ + 7)' = 2x¹ + 1 + 0 + 5x⁴ + 0 = 5x⁴ + 2x + 1

Ако функция е произведение на две функции производната и се намира със следната формула:

If f(x) = C(C е константа), и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y'=C'.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)

За следващите формули има примери по-надолу

Ако функция е функция от функция: u = u(x)

пример: нека y = sin(x²)
тогава u = x², f(u) = sin(u), производните са f'(u) = cos(u), u' = 2x
y' = (sin(u))'.u' = cos(x²).2x = 2.x.cos(x²)

Програма за намиране на производни онлайн

Задачи за производни на функции

1) f(x) = 10x + 4y. Намерете производната и f'(x) = ?
Отговор: Ще използваме формулата за производна на функция, която е сбор от функции. f(x) = f₁(x) + f₂(x), f₁(x) = 10x, f₂(x) = 4y За функциятя f₁(x) = 4y, 4y e константа защото функцията зависи от х(x-аргумент) не от y, така че (4y)' = 0. Производната на f(x) е: f'(x) = 10 + 0 = 10.

Отговор: нека h(x) = x¹⁰ и g(x) = 4.15 + cos x
функцията f(x) е h(x) разделена на g(x), а производните им са съответно:
h'(x) = 10x⁹ g'(x) = 0 - sin x = -sin x

3) f(x) = ln(sinx). Каква е производната на функцията f(x)?
Отговор: За да решим задачата ще използваме последната формула. Както се забелязва f(x) е функция от функция f(x) = h(g(x)), където h = ln, и g = sin x

Линкове от форума за производни

форум за производни

Още производн във форума за математика