Формули за първата производна на функция

Производната на функцията ${y=f(x)}$ се означава с $y'$ или $f'(x).$ Тя показва колко бързо се изменя функцията: $f'(x)$ е ъгловият коефициент на допирателната към графиката в точката с абсциса $x.$ По определение

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Да пресмятаме тази граница всеки път е бавно. На практика използваме няколко правила за диференциране и таблица на производните на основните функции. С тях намираме производната на всяка функция, съставена от основните. Калкулаторът по-горе намира производната на функцията, която въведете, и показва решението стъпка по стъпка.

На тази страница: Правила за диференциране · Таблица на производните · Решени задачи · Упражнения

Правила за диференциране

В правилата по-долу $f$ и $g$ са функции на $x,$ които имат производни, а $C$ е константа, т.е. число, което не зависи от $x.$

Производна на константа

Константата не се изменя, затова скоростта ѝ на изменение е нула. Например ако ${y=5},$ то ${y'=0}.$ Също ${(\pi)'=0}$ и ${(\ln 3)'=0},$ защото $\pi$ и $\ln 3$ са числа.

Производна на степен

Показателят става множител пред степента, а новият показател е с единица по-малък. Правилото важи за всеки реален показател $n,$ не само за цели числа (при дробно $n$ взимаме ${x\gt 0}$).

${(x^3)'}={3x^{3-1}}={3x^2},$   ${(x^{-3})'}={-3x^{-3-1}}={-3x^{-4}}$

При ${n=1}$ правилото дава ${(x)'=1}.$ Корен или дроб със степен на $x$ в знаменателя първо записваме като степен:

${(\sqrt{x})'}={\left(x^{\frac12}\right)'}={\frac12x^{\frac12-1}}={\frac12x^{-\frac12}}={\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

${\left(\frac1x\right)'}={(x^{-1})'}={-1\cdot x^{-1-1}}={-x^{-2}}={-\frac{1}{x^2}}$

Константен множител

Константният множител се изнася пред производната. Пример:

${(7x^3)'}={7\cdot(x^3)'}={7\cdot 3x^2}={21x^2}$

Производна на сбор и разлика

Производната на сбор е равна на сбора от производните. Това важи за произволен брой събираеми, затова многочлен се диференцира почленно.

Пример. Нека ${f(x)=x^2+x+1},$ ${g(x)=x^5+7}$ и ${y=f(x)+g(x)}.$ Тогава

${y'}={(x^2+x+1)'}+{(x^5+7)'}={(x^2)'+(x)'+(1)'}+{(x^5)'+(7)'}={2x+1+0+5x^4+0}={5x^4+2x+1}$

Производна на произведение

Пример.

${(x^2\sin x)'}={(x^2)'\cdot\sin x+x^2\cdot(\sin x)'}={2x\cdot\sin x+x^2\cdot\cos x}$

Правилото за константен множител е частен случай на правилото за произведение. Ако ${f=C},$ то

${(C\cdot g)'}={C'\cdot g+C\cdot g'}={0\cdot g+C\cdot g'}={C\cdot g'}$

Производна на частно

Внимавайте с реда в числителя: първо ${f'\cdot g},$ след това минус ${f\cdot g'}.$ При ${f=1}$ правилото дава ${\left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}}.$

Пример.

${\left(\frac{x}{x+1}\right)'}={\frac{(x)'\cdot(x+1)-x\cdot(x+1)'}{(x+1)^2}}={\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}}={\frac{x+1-x}{(x+1)^2}}={\frac{1}{(x+1)^2}}$

Производна на сложна функция

Нека ${y=f(u)},$ където ${u=u(x)}$ също е функция на $x$ (функция от функция). Тогава

Първо диференцираме външната функция, все едно $u$ е променливата, а след това умножаваме по производната на вътрешната функция $u.$

Пример 1. ${y=\sin(x^2)}.$ Тук ${u=x^2}$ и ${f(u)=\sin u},$ затова ${f'(u)=\cos u}$ и ${u'=2x}$:

${y'}={f'(u)\cdot u'}={\cos(x^2)\cdot 2x}={2x\cos(x^2)}$

Пример 2. ${y=(3x+1)^5}.$ Външната функция е ${f(u)=u^5}$ с ${f'(u)=5u^4},$ а вътрешната е ${u=3x+1}$ с ${u'=3}$:

${y'}={f'(u)\cdot u'}={5(3x+1)^4\cdot 3}={15(3x+1)^4}$

Пример 3. Когато три функции са вложени една в друга, правилото се прилага два пъти:

${\left(e^{\sin 2x}\right)'}={e^{\sin 2x}\cdot(\sin 2x)'}={e^{\sin 2x}\cdot\cos 2x\cdot(2x)'}={e^{\sin 2x}\cdot\cos 2x\cdot 2}={2\cos 2x\cdot e^{\sin 2x}}$

Таблица на производните

Производните на основните (елементарните) функции.

Производна
$(x^n)'=n\,x^{n-1}$
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2}$
$(e^x)'=e^x$
$(a^x)'=a^x\ln a$
$(\ln x)'=\frac1x$
$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$
$(\sin x)'=\cos x$
$(\cos x)'=-\sin x$
$(\tg x)'=\frac{1}{\cos^2x}$
$(\cotg x)'=-\frac{1}{\sin^2x}$
$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctg x)'=\frac{1}{1+x^2}$
${(\operatorname{arccotg} x)'}={-\frac{1}{1+x^2}}$

Формулите важат там, където функциите са дефинирани: ${x\gt 0}$ за $\ln x$ и $\log_a x,$ както и за производната на $\sqrt{x};$ ${a\gt 0}$ и ${a\ne 1}$ за $a^x$ и $\log_a x;$ ${\cos x\ne 0}$ за $\tg x;$ ${\sin x\ne 0}$ за $\cotg x;$ ${-1\lt x\lt 1}$ за производните на $\arcsin x$ и $\arccos x.$ Освен това ${(\ln|x|)'=\frac1x}$ за всяко ${x\ne 0}.$ Тъй като ${\frac{1}{\cos^2x}=1+\tg^2x},$ производната на $\tg x$ може да се запише и като ${1+\tg^2x}.$

Решени задачи

Задача 1. Намерете производната на ${{f(x)=3x^4-5x^2+7x-2}.}$

Решение: Диференцираме почленно с правилото за степен и правилото за константен множител:

${f'(x)}={(3x^4)'-(5x^2)'}+{(7x)'-(2)'}={3\cdot(x^4)'-5\cdot(x^2)'}+{7\cdot(x)'-0}={3\cdot 4x^3-5\cdot 2x}+{7\cdot 1-0}={12x^3-10x+7}$

Задача 2. ${f(x)=10x+4y},$ където $y$ не зависи от $x.$ Намерете $f'(x).$

Решение: Диференцираме по $x.$ Числото $y$ не се изменя, когато $x$ се изменя, затова $4y$ е константа и ${(4y)'=0}.$ По правилото за сбор

${f'(x)}={(10x)'+(4y)'}={10\cdot(x)'+0}={10\cdot 1+0}={10}$

Задача 3. Намерете производната на ${y=\sqrt[3]{x^2}+\frac{2}{x^3}}.$

Решение: Първо записваме двете събираеми като степени на $x$: ${y=x^{\frac23}+2x^{-3}}.$ По правилото за степен

${y'}={\left(x^{\frac23}\right)'+(2x^{-3})'}={\left(x^{\frac23}\right)'+2\cdot(x^{-3})'}={\frac23x^{\frac23-1}+2\cdot(-3)x^{-3-1}}={\frac23x^{-\frac13}-6x^{-4}}={\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{6}{x^4}}$

Задача 4. Намерете производната на ${y=x^3e^x}.$

Решение: Прилагаме правилото за произведение с ${f=x^3}$ и ${g=e^x}$:

${y'}={(x^3)'\cdot e^x+x^3\cdot(e^x)'}={3x^2\cdot e^x+x^3\cdot e^x}={x^2e^x(x+3)}$

Задача 5. Намерете производната на ${f(x)=\frac{x^{10}}{4{,}15+\cos x}}.$

Решение: $f$ е частното на ${h(x)=x^{10}}$ и ${g(x)=4{,}15+\cos x}.$ Производните им са ${h'(x)=10x^9}$ и ${g'(x)=0-\sin x=-\sin x}.$ Знаменателят никога не е 0, защото ${\cos x\ge -1}.$ По правилото за частно

${f'(x)}={\frac{h'(x)\cdot g(x)-h(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)-x^{10}(-\sin x)}{(4{,}15+\cos x)^2}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)+x^{10}\sin x}{(4{,}15+\cos x)^2}}$

Задача 6. Изведете формулата ${(\tg x)'=\frac{1}{\cos^2x}}$ с правилото за частно.

Решение: ${\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}},$ затова

${(\tg x)'}={\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2x}}={\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}}={\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}={\frac{1}{\cos^2x}}$

В последната стъпка използвахме ${\sin^2x+\cos^2x=1}.$

Задача 7. Намерете производната на ${y=\ln(\sin x)}.$

Решение: Това е сложна функция. Външната функция е ${f(u)=\ln u},$ а вътрешната е ${u=\sin x}.$ От таблицата ${f'(u)=\frac1u}$ и ${u'=\cos x}.$ По правилото за сложна функция

${y'}={f'(u)\cdot u'}={\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x}={\frac{\cos x}{\sin x}}={\cotg x}$

Функцията е дефинирана само там, където ${\sin x\gt 0}.$

Задача 8. Намерете производната на ${y=\sqrt{x^2+1}}.$

Решение: Прилагаме правилото за сложна функция с външна функция ${f(u)=\sqrt{u}}$ и вътрешна функция ${u=x^2+1}.$ От таблицата ${f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}},$ а ${u'}={(x^2)'+(1)'}={2x}$:

${y'}={f'(u)\cdot u'}={\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x}={\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

Задача 9. Намерете производната на ${y=\sin^2 3x}.$

Решение: ${\sin^2 3x=(\sin 3x)^2},$ т.е. тук има три вложени функции: квадрат, синус и $3x.$ Прилагаме правилото за сложна функция два пъти:

${y'}={2\sin 3x\cdot(\sin 3x)'}={2\sin 3x\cdot\cos 3x\cdot(3x)'}={2\sin 3x\cdot\cos 3x\cdot 3}={6\sin 3x\cos 3x}={3\sin 6x}$

В последната стъпка използвахме ${2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha}.$

Задача 10. ${f(x)=x^3-2x}.$ Намерете $f'(2)$ и уравнението на допирателната към графиката на $f$ в точката с абсциса ${x=2}.$

Решение: ${f'(x)}={(x^3)'-(2x)'}={3x^2-2\cdot(x)'}={3x^2-2\cdot 1}={3x^2-2},$ затова ${f'(2)}={3\cdot 2^2-2}={12-2}={10}.$ Това е ъгловият коефициент на допирателната. Тъй като ${f(2)}={2^3-2\cdot 2}={8-4}={4},$ допирната точка е ${(2;\ 4)}.$ Уравнението на допирателната е

${y}={f(2)+f'(2)(x-2)}={4+10(x-2)}={4+10x-20}={10x-16}$

Упражнения

Намерете производните. Опитайте сами и след това отворете отговора.

1. ${y=4x^3-6x+1}$

${y'}={(4x^3)'-(6x)'+(1)'}={4\cdot(x^3)'-6\cdot(x)'+0}={4\cdot 3x^2-6\cdot 1+0}={12x^2-6}$

2. ${y=\frac{1}{x^2}}$

${y'}={\left(\frac{1}{x^2}\right)'}={(x^{-2})'}={-2x^{-2-1}}={-2x^{-3}}={-\frac{2}{x^3}}$

3. ${y=x\ln x}$

${y'}={(x)'\cdot\ln x+x\cdot(\ln x)'}={1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x}={\ln x+1}$

4. ${y=\frac{x^2}{x-1}}$

${y'}={\frac{(x^2)'\cdot(x-1)-x^2\cdot(x-1)'}{(x-1)^2}}={\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}}={\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}}={\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}}$

5. ${y=e^{-x^2}}$

${y'}={e^{-x^2}\cdot(-x^2)'}={e^{-x^2}\cdot(-2x)}={-2x\,e^{-x^2}}$

6. ${y=\cos(5x+1)}$

${y'}={-\sin(5x+1)\cdot(5x+1)'}={-\sin(5x+1)\cdot 5}={-5\sin(5x+1)}$

7. ${y=\ln(x^2+4)}$

${y'}={\frac{1}{x^2+4}\cdot(x^2+4)'}={\frac{1}{x^2+4}\cdot 2x}={\frac{2x}{x^2+4}}$

8. ${y=\arctg 2x}$

${y'}={\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot(2x)'}={\frac{1}{1+4x^2}\cdot 2}={\frac{2}{1+4x^2}}$

9. ${y=x^2\cos x}$

${y'}={(x^2)'\cdot\cos x+x^2\cdot(\cos x)'}={2x\cos x+x^2\cdot(-\sin x)}={2x\cos x-x^2\sin x}$

10. ${f(x)=x^4-3x^2}.$ Намерете $f'(1).$

${f'(x)}={(x^4)'-(3x^2)'}={(x^4)'-3\cdot(x^2)'}={4x^3-3\cdot 2x}={4x^3-6x},$ затова ${f'(1)}={4\cdot 1^3-6\cdot 1}={4-6}={-2}$

Още упражнения, всеки път с нови функции:

Отговорите си може да проверите с калкулатора в началото на страницата. Вижте също: Задачи върху производни