Параметрични уравнения

Уравнение, което освен неизвестното съдържа и друга буква, която може да приема различни стойности от някакво множество, се нарича параметрично уравнение. Тази буква, участвуваща в уравнението, се нарича параметър. Всъщност с всяко параметрично уравнение е записано едно множество от уравнения. Ще разгледаме решаването на параметрични уравнения от първа степен и модулни параметрични уравнения.

1 задача Решете уравнението по отношение на х
A) х + а = 7
Б) 2х + 8а = 4
В) х + а = 2а – х
Г) ах = 5
Д) а – х = х + b
Е) ах = 3а

Решение:

А) х + а = 7 <=> х = 7 – а, с което е намерено решение на даденото уравнение.
При различните стойности на параметъра, а решенията са х = 7 – а

Б) 2х + 8а = 4 <=> 2х = 4 - 8а <=> х = 2 – 4а

В) х + а = 2а – х <=> х + х = 2а – а <=> 2х = а <=> х = а/2

Г) ах = 5, когато а е различно от 0 можем да разделим двете страни с а и получаваме х = 5
Ако а = 0, то се получава уравнение от вида 0.х = 5, което няма решение;

Д) а – х = х + b <=> а – b = х + х <=> 2х = а – b <=> х = (а – b)/2

Е) При а = 0 уравнението ах = 3а е равносилно на 0.х = 0
Следователно всяко х е решение. Ако а е различно от 0, то
ах = 3а <=> х = 3а/а <=> х = 3

2 задача Ако а е параметър, решете уравнението:
А) (а + 1)х = 2а + 3
Б) 2а + х = ах + 4
В) а²х – х = а
Г) а²х + х = а

Решение:

A) Ако а + 1 е различно от 0, т.е. а ≠ -1,
то х = (2а + 3)/(а + 1);
ако а + 1 = 0, т.е. а = - 1
уравнението приема вида 0.х = (2).(-1) + 3 <=>
0.х = 1, което няма решение;

Б) 2а + х = ах + 4 <=>
х – ах = 4 - 2а <=>
(1 – а).х = 2(2 – а)
Ако (1 – а) ≠ 0, т.е. а ≠ 1; решението е
х = 2(2 - а) / (1 - а);
при а = 1 уравнението е 0.х = 2(2 - 1) <=>
0.х = 2, което няма решение

В) а²х – х = а <=>
х(а² -1) = а <=>
(а - 1)(а + 1)х = а
Ако а - 1 ≠ 0 и а + 1 ≠ 0 т.е. а ≠ 1, -1,
то решението е х = а/(а - 1)(а + 1)
Ако а = 1 или а = -1, уравнението е 0.х = +, -1, което няма решение

Г) а²х + х = а <=>
(а² +1)х = а
В този случай а² +1 ≠ 0 за всяко а, понеже е сбор от едно положително число (числото 1) и едно неотрицателно число
(а² е ≥ 0) следователно х = а/а² + 1

3 задача Ако а и b са параметри, решете уравнението:
A) ах + b = 0
Б) ах + 2b = х
В) (b - 1)у = 1 – а
Г) (в² + 1)у = а + 2

Решение:

A) ах + b = 0 <=> ах = -b
Ако а ≠ 0, решението е х = -b/а.
Ако а = 0, b ≠ 0, то уравнението приема вида 0.х = -b и няма решение.
Ако а = 0 и b = 0, уравнението е 0.х = 0 и всяко х е негово решение;

Б) ах + 2b = х <=> ах – х = -2b <=> (а - 1)х = -2b
Ако а - 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1, решението е х = -2b/а - 1
Ако а - 1 = 0, т.е. а = 1, но b ≠ 0, уравнението е 0.х = - 2в и няма решение

В) ако b - 1 ≠ 0, т.е. b ≠ 1,
решението е у = (1 – а)/(b - 1)
Ако b - 1 = 0, т.е. b = 1, но 1 – а ≠ 0,
т.е. а ≠ 1, уравнението е 0.у = 1 – а и няма решение.
При b = 1 и а = 1 уравнението е 0.у = 0 и всяко у е решение

Г) b² + 1 ≠ 0 за всяко b(защо?), следователно
у = (а + 2)/(b² + 1) е решение на уравнението.

4 задача За кои стойности на х имат равни стойности изразите:
A) 5х + а и 3ах + 4
Б) 2х - 2 и 4х + 5а

Решение:

За да са равни стойностите, трябва да решим уравненията
5х + а = 3ах + 4 и 2х – 2 = 4х + 5а

А) 5х + а = 3ах + 4 <=>
5х - 3ах = 4 – а <=>
(5 - 3а)х = 4 – а
При 5 - 3а ≠ 0, т.е. а ≠ 5/3, решението е х = (4 – а)/(5 - 3а)
При 5 - 3а = 0, т.е. а = 5/3, уравнението е 0.х = 4 – 5/3 <=>
0.х = 7/3, което няма решение

Б) 2х - 2 = 4х + 5а <=>
-2 - 5а = 4х - 2х <=>
2х = - 2 - 5а <=>
х = -(2 + 5а)/2

5 задача Решете параметричното уравнение:
А) |аx + 2| = 4
Б) |2x + 1| = 3а
В) |аx + 2а| = 3

Решение:

|ах + 2| = 4 <=> ах + 2 = 4 или ах + 2 = - 4 <=>
ах = 2 или ах = - 6
Ако а ≠ 0, решенията са х = 2/а или х = -6/а
Ако а = 0, уравненията нямат решения

Б) Ако а < 0, уравнението |2х + 1| = 3а няма решение.
При а > 0 то е равносилно на 2х + 1 = 3а
или 2х + 1 = -3а <=> 2х = 3а - 1 <=> х = (3а - 1)/2 или
2х = -3а - 1 <=> х = (3а -1)/2 = - (3а + 1)/2

В) |ах + 2а| = 3 <=> ах + 2а = 3 или ах + 2а = - 3,
откъдето намираме ах = 3 - 2а или ах = -3 - 2а
При а = 0 няма решения, а при а ≠ 0
те са х = (3 - 2а)/а и х = -(3 + 2а)/а

6 задача Да се реши уравнението 2 – х = 2b – 2ах, където а и b са реални параметри. Да се намери за кои цели стойности на а уравнението има за решение естествено число, ако b = 7

Решение:

Записваме даденото уравнение във вида (2а - 1)х = 2(b - 1)
Възможни са следните случаи:
Ако 2а - 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1/2, то уравнението има единствено решение х = 2(b - 1)/(2а - 1)
Ако а = 1/2 и b = 1, уравнението приема вида 0.х = 0 и всяко х е решение
Ако а = 1/2 и b ≠ 1, получаваме 0.х = 2(b - 1), където 2(b - 1) ≠ 0
В този случай уравнението няма решение.
При b = 7 и а ≠ 1/2 единственото решение е
х = 2(7 - 1)/(2а - 1) = 12/(2а - 1)
Ако а е цяло число, то и 2а - 1 също е цяло число и решението
х = 12/(2а - 1) е естествено число точно тогава, когато
2а - 1 е положителен делител на 12.
И за да бъде а цяло число, трябва делителят на 12 да е нечетен. Но единствените цели нечетни положителни числа, които делят 12, са 1 и 3.
Следователно 2а - 1 = 3 <=> а = 2 или 2а - 1 = 1 <=>
а = 1 а = 2 или 2а - 1 = 1 <=> а = 1

7 задача Да се реши уравнението |ах - 2 – х| = 4, където а е параметър. Да се намери за кои стойности на а корените на уравнението са цели отрицателни числа.

Решение:

От определението за модул получаваме
|ах - 2 – х| = 4 <=> ах - 2 – х = 4 или ах - 2 – х = - 4
От първото равенство получаваме х(а - 1) - 2 = 4 <=>
(а -1)х = 4 + 2 <=> (а - 1)х = 6
От второто равенство имаме (а - 1)х = -2
При а - 1 = 0, т.е. а = 1, последните уравнения нямат решение.
При а ≠ 1 намираме х = 6/(а - 1) или х = -2/(а - 1)
За да бъдат тези корени цели отрицателни числа, трябва:
За първото равенство а - 1 да са отрицателни делители на 6, а за второто положителните делители на 2
И така а - 1 = - 1; -2; -3; - 6 или а - 1 = 1; 2
Така получаваме а - 1 = - 1 <=> а = 0; а - 1 = - 2 <=>
а = - 1; а - 1 = -3 <=> а = -2; а - 1 = -6 <=> а = -5
или а - 1 = 1 <=> а = 2; а - 1 = 2 <=> а = 3
И така а = -5; -2; -1; 0; 2; 3 са решения на задачата

8 задача Да се реши уравнението:
А) 3ах – а = 1 – х, където а е параметър;
Б) 2ах + b = 2 + х, където а и b са параметри

Решение:

А) 3ах + х = 1 + а <=> (3а + 1)х = 1 + а.
Ако 3а + 1 ≠ 0, т.е. а ≠ -11 /3 /3 , то решението е
х = (1 + а)/(3а + 1)
При а = - 1/3 уравнението приема вида 0.х = 1.1/3, което няма решение

Б) 2ах – х = 2 – b <=> (2а - 1)х = 2 – b
Ако 2а - 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1/2, то х = (2 – b)/(2а - 1) е решение.
При а = 1/2 уравнението приема вида 0.х = 2 – b
Тогава, ако b = 2, то всяко х е решение, ако b ≠ 2, уравнението няма решение.

9 задача Дадено е уравнението 6(кх - 6) + 24 = 5кх, където к е цяло число. Да се намери за кои стойности на к уравнението:
А) има за корен числото -4/3
Б) няма решения;
В) има за корен естествено число.

Решение:

Уравнението преработваме до 6кх - 36 + 24 = 5кх <=> кх = 12

А) Щом х = - 4/3, то за к получаваме уравнението - 4/3к = 12 <=> к = - 9

Б) Уравнението кх = 12 няма решение точно тогава, когато к = 0

В) При к ≠ 0 коренът е х = 12/к и той е естествено число, ако к е цяло положително число, делящо 12, т.е. к = 1, 2, 3, 4, 6, 12

10 задача Да се реши уравнението:
А) 2ах + 1 = х + а, където а е параметър;
Б) 2ах + 1 = х + b, където а и b са параметри.

Решение:

А) 2ах + 1 = х + а <=> 2ах – х = а - 1 <=>
(2а - 1)х = а - 1
Ако 2а - 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1/2, то единственото решение на уравнението е
х = (а - 1)/(2а - 1)
Ако 2а - 1 = 0, т.е. а = 1 / 2, то даденото уравнение приема вида
0.х = 1 / 2 - 1 <=> 0.х = - 1/2, което няма решение

Б) 2ах + 1 = х + b <=>
2ах – х = b - 1 <=>
(2а - 1)х = b - 1
Ако 2а - 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1/2, решението е
х = (b - 1)/(2а - 1)
Ако а = 1/2, уравнението е еквивалентно на 0.х = b - 1
При b = 1 всяко х е решение, при b ≠ 1 няма решение.

11 задача Дадено е уравнението 3(ах - 4) + 4 = 2ах, където параметърът а е цяло число. Да се намери за кои стойности на а уравнението има за корен:
А) числото (-2/3)
Б) цяло число
В) естествено число

Решение:

А) Щом х = -2/3 е решение на уравнението, то е в сила
3[а(-2/3) - 4] + 4 = 2а(-2/3) <=>
-2а - 12 + 4 = -4а/3 <=>
4а/3 - 2а = 8 <=> (4а - 6а)/3 = 8 <=>
-2а/3 = 8 <=> а = -12

Б) 3(ах - 4) + 4 = 2ах <=> 3ах - 2ах = 12 - 4 <=> ах = 8
При а ≠ 0 решението на уравнението е х = 8/а, то е цяло число, ако а е делител на 8.
Следователно а = ± 1; ±2; ±4; ±8
При а = 0 уравнението няма решение

В) за да бъде решението х = 8/а естествено (цяло положително) число трябва а = 1,2,4,8

12 задача Дадено е уравнението 2 – х = 2b – 2ах, където a и b са параметри. Да се намери за кои цели стойности на а уравнението има за решение естествено число, ако b = 7

Решение:

В уравнението заместваме b = 7 и получаваме 2 – х = 2.7 - 2ах <=>
2ах – х = 14 – 2 <=> (2а - 1)х = 12
При 2а -1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1/2, решението е
х = 12/(2а - 1) и то ще бъде естествено число, ако знаменателят 2а - 1 е положителен делител на 12 и освен това, за да бъде а цяло число е необходимо 2а - 1 да е нечетно число.
Следователно 2а - 1 може да бъде 1 или 3
От 2а - 1 = 1 <=> 2а = 2 <=> а = 1 и от 2а - 1 = 3
<=> 2а = 4 <=> а = 2

13 задача Дадена е функцията f(х) = (3а - 1)х - 2а + 1, където а е параметър. Да се намери за кои стойности на а графиката на функцията:
А) пресича абсцисната ос;
Б) не пресича абсцисната ос

Решение:

За да пресича графиката на дадената функция абсцисната ос, трябва уравнението
(3а - 1).х -2а + 1 = 0 да има решение и няма да я пресича, ако няма решение.
От даденото уравнение получаваме (3а - 1)х = 2а - 1
При 3а - 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1/3, уравнението има решение
х = (2а – 1)/(3а - 1), следователно графиката на функцията пресича абсцисната ос.
При а = 1/3 получаваме 0.х = 2/3 - 1 <=> 0.х = -1/3, което няма решение.
Следователно при а = 1/3 графиката не пресича абсцисната ос.

14 задача Да се реши параметричното уравнение:
А) |х -2| = а
Б) |ах -1| = 3
В) |ах - 1| = а - 2

Решение:

А) при а < 0 уравнението няма решение, при а > 0 получаваме:
|х - 2| = а <=> х - 2 = а или х - 2 = - а
От х - 2 = а => х = а + 2, а от
х - 2 = - а => х = 2 – а
Ако а = 0, то х - 2 = 0 или х = 2

Б) |ах - 1| = 3 <=> ах - 1 = 3 или ах -1 = -3
откъдето ах = 4 или ах = - 2
При а ≠ 0 решенията са х = 4/а или х = - 2/а
При а = 0 няма решение

В) ако а - 2 < 0, т.е. а < 2, уравнението няма решение
При а - 2 > 0, т.е а > 2 получаваме
|ах - 1| = а - 2 <=> ах -1 = а - 2 или ах - 1 = 2 – а
Така получаваме ах = а - 1 или ах = 3 – а
Понеже а > 2, то а ≠ 0, следователно
х = (а - 1)/а или х = (3 – а)/а.
При а = 2 уравнението е еквивалентно с
2х - 1 = 0 <=> 2х = 1 <=> х = 1/2

15 задача Да се намери за кои стойности на параметъра m (а) двете уравнения са еквивалентни (равносилни):
А) (x + m) / 2 = 1 – m и (- x - 1) ² - 1 = x²
Б) (x + m) / 2 = 1 – m и (x – m) / 3 = 1 - 2m
В) |3 – x| + x² -5x + 3 = 0 и ax + 2a = 1 + x, ako x > 3

Решение:

А) Ще решим второто уравнение. Преработваме го по следния начин
(-х - 1)² - 1 = x² <=>
[(-1)(х + 1) ]² - 1 = х² <=>
х² + 2х + 1 - 1 = х² <=>
2х = 0 <=> х = 0
За първото уравнение получаваме
(x + m)/2 = 1 – m <=> x + m = 2 - 2m <=> x = 2 - 3m
Двете уравнения са еквивалентни, ако имат едни и същи корени, т.е.
2 - 3m = 0 <=> m = 2/3

Б) За първото уравнение решението е х = 2 - 3m, а за второто получаваме
x – m = 3 - 6m <=> x = 3 – 5m
Те имат едни и същи корени точно тогава, когато
2 - 3m = 3 - 5m <=> 5m - 3m = 3 - 2 <=> 2m = 1 <=> m = 1/2

В) Понеже х > 3, то 3 – х < 0, следователно
|3 – х| = - (3 – х) = х - 3
Първото уравнение приема вида х - 3 + х² – 5х + 3 = 0 <=>
х² - 4х – 0 <=> х(х - 4) = 0 <=>
х = 0 или х = 4
По условие х > 3, следователно само х = 4 е решение. За второто уравнение получаваме
ах – х = 1 - 2а <=> (а - 1)х = 1 - 2а
При а - 1 = 0 то няма решение(Защо?), а при а - 1 ≠ 0, т.е.а ≠ 1, решението е
х = (1 - 2а)/(а - 1) Двете уравнения ще бъдат еквивалентни ако 4 = (1 - 2а)/(а - 1) <=> 4(а - 1) = 1 - 2а <=> 4а + 2а = 1 + 4 <=> 6а = 5 <=> а = 5/6

Уравнения с параметър

форум за уравненя

Още парамет във форума за математика