Линейни уравнения с параметър

Уравнение, което освен неизвестното $x$ съдържа и друга буква, например $a$, означаваща дадено число, което може да приема различни стойности, се нарича уравнение с параметър (параметрично уравнение), а самата буква – параметър. Всъщност уравнението с параметър е цяло семейство от уравнения – по едно за всяка стойност на параметъра, и да го решим означава да намерим корените му при всяка стойност на параметъра.

Всяко линейно уравнение с параметър може да се приведе във вида ${Ax=B}$, където $A$ и $B$ зависят от параметъра. Възможни са три случая:

Случай	Корени
${A\ne 0}$	един корен, ${x=\frac{B}{A}}$
${A=0}$ и ${B=0}$	всяко число е корен
${A=0}$ и ${B\ne 0}$	няма корен

Затова най-важната стъпка е да намерим стойностите на параметъра, за които коефициентът пред $x$ е нула, и да ги разгледаме отделно. Решаването на уравнения без параметър е показано в уравнения от първа степен.

Задача 1

Решете уравнението спрямо $x$:

А) ${x+a=7}$   Б) ${2x+8a=4}$   В) ${x+a=2a-x}$
Г) ${ax=5}$   Д) ${a-x=x+b}$   Е) ${ax=3a}$

Решение:

А) ${x=7-a}$. При всяка стойност на $a$ уравнението има един корен, ${7-a}$.

Б) ${2x=4-8a}$, откъдето ${x=2-4a}$.

В) ${{x+x}={2a-a}}$, откъдето ${2x=a}$ и ${x=\frac{a}{2}}$.

Г) При ${a\ne 0}$ делим на $a$: ${x=\frac{5}{a}}$. При ${a=0}$ уравнението е ${0\cdot x=5}$ и няма корен.

Д) ${{a-b}={x+x}}$, откъдето ${2x=a-b}$ и ${x=\frac{a-b}{2}}$.

Е) При ${a\ne 0}$ делим на $a$: ${x=3}$. При ${a=0}$ уравнението е ${0\cdot x=0}$ и всяко число е корен.

Задача 2

Решете уравнението, където $a$ е параметър:

А) ${(a+1)x=2a+3}$   Б) ${2a+x=ax+4}$
В) ${a^2x-x=a}$   Г) ${a^2x+x=a}$

Решение:

А) Ако ${a+1\ne 0}$, т.е. ${a\ne -1}$, то ${x=\frac{2a+3}{a+1}}$. Ако ${a=-1}$, уравнението е ${0\cdot x=2\cdot(-1)+3}$, т.е. ${0\cdot x=1}$, и няма корен.

Б) ${{x-ax}={4-2a}}$, т.е. ${(1-a)x=2(2-a)}$. Ако ${a\ne 1}$, то ${x=\frac{2(2-a)}{1-a}}$. Ако ${a=1}$, уравнението е ${0\cdot x=2}$ и няма корен.

В) ${(a^2-1)x=a}$, т.е. ${(a-1)(a+1)x=a}$. Ако ${a\ne 1}$ и ${a\ne -1}$, то ${x=\frac{a}{(a-1)(a+1)}}$. Ако ${a=1}$ или ${a=-1}$, уравнението е ${0\cdot x=1}$ или ${0\cdot x=-1}$ и няма корен.

Г) ${(a^2+1)x=a}$. Тъй като ${a^2\ge 0}$, коефициентът ${a^2+1}$ е поне 1 и никога не е нула. Затова при всяко $a$ коренът е ${x=\frac{a}{a^2+1}}$.

Задача 3

Решете уравнението, където $a$ и $b$ са параметри:

А) ${ax+b=0}$   Б) ${ax+2b=x}$
В) ${(b-1)y=1-a}$   Г) ${(b^2+1)y=a+2}$

Решение:

А) ${ax=-b}$.

• При ${a\ne 0}$ коренът е ${x=-\frac{b}{a}}$.
• При ${a=0}$ и ${b\ne 0}$ уравнението е ${0\cdot x=-b}$, където ${-b\ne 0}$: няма корен.
• При ${a=0}$ и ${b=0}$ то е ${0\cdot x=0}$: всяко число е корен.

Б) ${{ax-x}={-2b}}$, т.е. ${(a-1)x=-2b}$.

• При ${a\ne 1}$ коренът е ${x=-\frac{2b}{a-1}}$.
• При ${a=1}$ и ${b\ne 0}$ уравнението е ${0\cdot x=-2b}$, където ${-2b\ne 0}$: няма корен.
• При ${a=1}$ и ${b=0}$ то е ${0\cdot x=0}$: всяко число е корен.

В)

• При ${b\ne 1}$ коренът е ${y=\frac{1-a}{b-1}}$.
• При ${b=1}$ и ${a\ne 1}$ уравнението е ${0\cdot y=1-a}$, където ${1-a\ne 0}$: няма корен.
• При ${b=1}$ и ${a=1}$ то е ${0\cdot y=0}$: всяко число е корен.

Г) ${b^2+1\ge 1}$ за всяко $b$, затова коефициентът пред $y$ никога не е нула и ${y=\frac{a+2}{b^2+1}}$ за всички $a$ и $b$.

Задача 4

За кои стойности на $x$ двата израза имат равни стойности? Тук $a$ е параметър.

А) ${5x+a}$ и ${3ax+4}$
Б) ${2x-2}$ и ${4x+5a}$

Решение: Изразите са равни за корените на уравнението, което се получава, като поставим знак за равенство между тях.

А) ${{5x+a}={3ax+4}}$, откъдето ${{5x-3ax}={4-a}}$ и ${(5-3a)x=4-a}$. Ако ${a\ne\frac{5}{3}}$, то ${x=\frac{4-a}{5-3a}}$. Ако ${a=\frac{5}{3}}$, уравнението е ${0\cdot x=4-\frac{5}{3}}$, т.е. ${0\cdot x=\frac{7}{3}}$, и няма корен: изразите никога не са равни.

Б) ${{2x-2}={4x+5a}}$, откъдето ${{-2-5a}={4x-2x}}$ и ${2x=-2-5a}$. При всяко $a$ ${x=-\frac{2+5a}{2}}$.

Задача 5

Решете уравнението, където $a$ е параметър:

А) ${|ax+2|=4}$   Б) ${|2x+1|=3a}$   В) ${|ax+2a|=3}$

Решение: Уравнение с модул ${|X|=c}$, където ${c>0}$, се разпада на ${X=c}$ или ${X=-c}$. Вижте уравнения с модул.

А) ${ax+2=4}$ или ${ax+2=-4}$, т.е. ${ax=2}$ или ${ax=-6}$. При ${a\ne 0}$ корените са ${x=\frac{2}{a}}$ и ${x=-\frac{6}{a}}$. При ${a=0}$ уравнението е ${|2|=4}$, което не е вярно: няма корен.

Б) Модулът на едно число никога не е отрицателен.

• При ${a<0}$ уравнението няма корен.
• При ${a=0}$ то е ${|2x+1|=0}$, откъдето ${2x+1=0}$ и ${x=-\frac{1}{2}}$.
• При ${a>0}$: ${2x+1=3a}$ или ${2x+1=-3a}$, откъдето ${x=\frac{3a-1}{2}}$ или ${x=-\frac{3a+1}{2}}$.

В) ${ax+2a=3}$ или ${ax+2a=-3}$, т.е. ${ax=3-2a}$ или ${ax=-3-2a}$. При ${a=0}$ уравнението е ${|0|=3}$, което не е вярно: няма корен. При ${a\ne 0}$ корените са ${x=\frac{3-2a}{a}}$ и ${x=-\frac{3+2a}{a}}$.

Задача 6

Решете уравнението ${2-x=2b-2ax}$, където $a$ и $b$ са параметри. За кои цели стойности на $a$ коренът е естествено число, ако ${b=7}$?

Решение: Прехвърляме събираемите: ${{2ax-x}={2b-2}}$, т.е. ${(2a-1)x=2(b-1)}$.

• При ${a\ne\frac{1}{2}}$ уравнението има един корен, ${x=\frac{2(b-1)}{2a-1}}$.
• При ${a=\frac{1}{2}}$ и ${b=1}$ то е ${0\cdot x=0}$: всяко число е корен.
• При ${a=\frac{1}{2}}$ и ${b\ne 1}$ то е ${0\cdot x=2(b-1)}$, където ${2(b-1)\ne 0}$: няма корен.

Нека сега ${b=7}$. Едно цяло число $a$ никога не е равно на ${\frac{1}{2}}$, затова коренът е

${x=\frac{2(7-1)}{2a-1}=\frac{12}{2a-1}}$

Той е естествено число точно когато ${2a-1}$ е положителен делител на 12. Но ${2a-1}$ е нечетно, а единствените нечетни положителни делители на 12 са 1 и 3:

${2a-1=1}$ дава ${a=1}$ (коренът е 12), а ${2a-1=3}$ дава ${a=2}$ (коренът е 4).

Отговор: ${a=1}$ или ${a=2}$.

Задача 7

Решете уравнението ${|ax-2-x|=4}$, където $a$ е параметър. За кои цели стойности на $a$ уравнението има корен, който е цяло отрицателно число?

Решение: ${ax-2-x=4}$ или ${ax-2-x=-4}$, т.е.

${(a-1)x=6}$ или ${(a-1)x=-2}$

При ${a=1}$ получаваме ${0\cdot x=6}$ и ${0\cdot x=-2}$: няма корен. При ${a\ne 1}$ корените са ${x=\frac{6}{a-1}}$ и ${x=-\frac{2}{a-1}}$. Те са с противоположни знаци, затова най-много единият от тях е отрицателен.

• ${\frac{6}{a-1}}$ е цяло отрицателно число, когато ${a-1}$ е отрицателен делител на 6: ${a-1=-1;-2;-3;-6}$, т.е. ${a=0;-1;-2;-5}$.
• ${-\frac{2}{a-1}}$ е цяло отрицателно число, когато ${a-1}$ е положителен делител на 2: ${a-1=1;2}$, т.е. ${a=2;3}$.

Отговор: ${a=-5;-2;-1;0;2;3}$.

Задача 8

Решете уравнението:

А) ${3ax-a=1-x}$, където $a$ е параметър;
Б) ${2ax+b=2+x}$, където $a$ и $b$ са параметри.

Решение:

А) ${{3ax+x}={1+a}}$, т.е. ${(3a+1)x=1+a}$. Ако ${a\ne -\frac{1}{3}}$, то ${x=\frac{1+a}{3a+1}}$. Ако ${a=-\frac{1}{3}}$, уравнението е ${0\cdot x=1-\frac{1}{3}}$, т.е. ${0\cdot x=\frac{2}{3}}$, и няма корен.

Б) ${{2ax-x}={2-b}}$, т.е. ${(2a-1)x=2-b}$. Ако ${a\ne\frac{1}{2}}$, то ${x=\frac{2-b}{2a-1}}$. Ако ${a=\frac{1}{2}}$, уравнението е ${0\cdot x=2-b}$: при ${b=2}$ всяко число е корен, а при ${b\ne 2}$ няма корен.

Задача 9

Дадено е уравнението ${6(kx-6)+24=5kx}$, където $k$ е цяло число. За кои стойности на $k$ уравнението

А) има корен ${-\frac{4}{3}}$;
Б) няма корени;
В) има корен, който е естествено число?

Решение: Опростяваме: ${{6kx-36+24}={5kx}}$, т.е. ${kx=12}$.

А) Заместваме ${x=-\frac{4}{3}}$: ${-\frac{4}{3}k=12}$, откъдето ${k=-9}$.

Б) ${kx=12}$ няма корен при ${k=0}$.

В) При ${k\ne 0}$ коренът е ${x=\frac{12}{k}}$. Той е естествено число, когато $k$ е положителен делител на 12: ${k=1;2;3;4;6;12}$.

Задача 10

Решете уравнението:

А) ${2ax+1=x+a}$, където $a$ е параметър;
Б) ${2ax+1=x+b}$, където $a$ и $b$ са параметри.

Решение:

А) ${{2ax-x}={a-1}}$, т.е. ${(2a-1)x=a-1}$. Ако ${a\ne\frac{1}{2}}$, единственият корен е ${x=\frac{a-1}{2a-1}}$. Ако ${a=\frac{1}{2}}$, уравнението е ${0\cdot x=\frac{1}{2}-1}$, т.е. ${0\cdot x=-\frac{1}{2}}$, и няма корен.

Б) ${{2ax-x}={b-1}}$, т.е. ${(2a-1)x=b-1}$. Ако ${a\ne\frac{1}{2}}$, то ${x=\frac{b-1}{2a-1}}$. Ако ${a=\frac{1}{2}}$, уравнението е ${0\cdot x=b-1}$: при ${b=1}$ всяко число е корен, а при ${b\ne 1}$ няма корен.

Задача 11

Дадено е уравнението ${3(ax-4)+4=2ax}$, където параметърът $a$ е цяло число. За кои стойности на $a$ уравнението има корен, който е

А) ${-\frac{2}{3}}$;
Б) цяло число;
В) естествено число?

Решение: Опростяваме: ${{3ax-12+4}={2ax}}$, т.е. ${ax=8}$.

А) Заместваме ${x=-\frac{2}{3}}$: ${-\frac{2}{3}a=8}$, откъдето ${a=-12}$.

Б) При ${a=0}$ няма корен. При ${a\ne 0}$ коренът е ${x=\frac{8}{a}}$ и той е цяло число, когато $a$ е делител на 8: ${a=\pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8}$.

В) ${x=\frac{8}{a}}$ е естествено число, когато $a$ е положителен делител на 8: ${a=1;2;4;8}$.

Задача 12

В уравнението ${2-x=2b-2ax}$ от задача 6 нека ${b=7}$. За кои цели стойности на $a$ коренът е цяло число?

Решение: Както в задача 6, коренът е ${x=\frac{12}{2a-1}}$. Той е цяло число, когато ${2a-1}$ е делител на 12. Тъй като ${2a-1}$ е нечетно, то може да бъде само ${\pm 1}$ или ${\pm 3}$:

${2a-1}$	$a$	корен ${\frac{12}{2a-1}}$
1	1	12
$-1$	0	$-12$
3	2	4
$-3$	$-1$	$-4$

Отговор: ${a=-1;0;1;2}$. За естествен корен е нужен положителен делител и остават само ${a=1}$ и ${a=2}$, както в задача 6.

Задача 13

Дадена е функцията ${f(x)=(3a-1)x-2a+1}$, където $a$ е параметър. За кои стойности на $a$ графиката на функцията

А) пресича абсцисната ос;
Б) не пресича абсцисната ос?

Решение: Графиката пресича абсцисната ос в точките, в които ${f(x)=0}$. Затова тя пресича оста точно когато уравнението ${(3a-1)x-2a+1=0}$, т.е. ${(3a-1)x=2a-1}$, има корен.

А) При ${a\ne\frac{1}{3}}$ коренът е ${x=\frac{2a-1}{3a-1}}$ и графиката пресича абсцисната ос в тази точка.

Б) При ${a=\frac{1}{3}}$ уравнението е ${0\cdot x=\frac{2}{3}-1}$, т.е. ${0\cdot x=-\frac{1}{3}}$, и няма корен. Тогава ${f(x)=\frac{1}{3}}$ за всяко $x$: графиката е хоризонтална права, която не пресича абсцисната ос.

Задача 14

Решете уравнението, където $a$ е параметър:

А) ${|x-2|=a}$   Б) ${|ax-1|=3}$   В) ${|ax-1|=a-2}$

Решение:

А)

• При ${a<0}$ няма корен.
• При ${a=0}$: ${x-2=0}$ и ${x=2}$.
• При ${a>0}$: ${x-2=a}$ или ${x-2=-a}$, откъдето ${x=2+a}$ или ${x=2-a}$.

Б) ${ax-1=3}$ или ${ax-1=-3}$, т.е. ${ax=4}$ или ${ax=-2}$. При ${a\ne 0}$ корените са ${x=\frac{4}{a}}$ и ${x=-\frac{2}{a}}$. При ${a=0}$ уравнението е ${|{-1}|=3}$, което не е вярно: няма корен.

В)

• При ${a-2<0}$, т.е. ${a<2}$, няма корен.
• При ${a=2}$ уравнението е ${|2x-1|=0}$, откъдето ${x=\frac{1}{2}}$.
• При ${a>2}$: ${ax-1=a-2}$ или ${ax-1=2-a}$, т.е. ${ax=a-1}$ или ${ax=3-a}$. Тук ${a\ne 0}$ и корените са ${x=\frac{a-1}{a}}$ и ${x=\frac{3-a}{a}}$.

Задача 15

За кои стойности на параметъра двете уравнения са равносилни, т.е. имат едни и същи корени?

А) ${\frac{x+m}{2}=1-m}$ и ${(-x-1)^2-1=x^2}$
Б) ${\frac{x+m}{2}=1-m}$ и ${\frac{x-m}{3}=1-2m}$
В) ${|3-x|+x^2-5x+3=0}$ и ${ax+2a=1+x}$, където ${x>3}$

Решение:

А) Решаваме второто уравнение. Тъй като ${(-x-1)^2=(x+1)^2}$,

${{x^2+2x+1-1}={x^2}}$, откъдето ${2x=0}$ и ${x=0}$

Първото уравнение дава ${x+m=2-2m}$, т.е. ${x=2-3m}$. Уравненията са равносилни, когато корените им са равни: ${2-3m=0}$, откъдето ${m=\frac{2}{3}}$.

Б) Първото уравнение има корен ${x=2-3m}$. От второто получаваме ${x-m=3-6m}$, т.е. ${x=3-5m}$. Корените са равни, когато ${2-3m=3-5m}$, откъдето ${2m=1}$ и ${m=\frac{1}{2}}$.

В) При ${x>3}$ имаме ${3-x<0}$, затова ${|3-x|=x-3}$. Първото уравнение става

${{x-3+x^2-5x+3}={0}}$, т.е. ${x^2-4x=0}$ и ${x(x-4)=0}$

откъдето ${x=0}$ или ${x=4}$. Само ${x=4}$ удовлетворява условието ${x>3}$.

Второто уравнение е ${(a-1)x=1-2a}$. При ${a=1}$ то е ${0\cdot x=-1}$: няма корен. При ${a\ne 1}$ коренът му е ${x=\frac{1-2a}{a-1}}$. Уравненията са равносилни, когато този корен е 4:

${{\frac{1-2a}{a-1}}={4}}$, откъдето ${1-2a=4a-4}$, ${5=6a}$ и ${a=\frac{5}{6}}$

Още за уравненията: Уравнения от първа степен · Уравнения от вида (a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0 · Уравнения с модул