Числа

Разбирането на числата, особено на естествените числа, е едно от най-старите математически умения. Много култури, дори някои съвременни, придават мистични значения на числата заради голямото им значение за описването на природата. Въпреки, че математиката и съвременната наука не потвърждават тези възгледи, значението на теорията за числата е безспорно.

От историческа гледна точка, първо се среща множеството от естествени числа. Недълго след това се разширява с дроби и дори с положителни ирационални числа. Нула и отрицателните числа са открити едва след реалните числа. Последни по ред - комплексните числа, се въвеждат едва с развитието на съвременната наука.

От друга страна, съвременната математика не въвежда числата хронологически, въпреки че редът на въвеждане е сходен.

Естествени числа $\mathbb{N}$

Множеството от естествени числа често е представено чрез $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, и е често разширявано с $0$, което се означава в този случай чрез $\mathbb{N}_0$.

При $\mathbb{N}$ действията на събиране (+) и умножаване ($\cdot$) са дефинирани чрез следните свойства за всяко $a,b,c\in \mathbb{N}$:

Множеството $\mathbb{N}$ има неутрален елемент относно умножение, но не и относно събиране. Това е причината множеството да се разширява с 0, която е неутрален елемент относно събиране.

Освен тези две операции в множество от числа, $\mathbb{N}$, отношенията по-малко ($<$) и по-малко или равно-на ($\leq$) са определени от следните свойства за всяко $a,b,c\in \mathbb{N}$:

Цели числа $\mathbb{Z}$

Примери за цели числа:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решаването на уравнението $a+x=b$, където $a$ и $b$ са дадени естествени числа, и $x$ неизвестно естествено число, изисква въвеждането на нова аритметическа операция: изваждане (-). Ако съществува естествено число $x$, което удовлетворява уравнението, тогава то е $x=b-a$. Обаче, това конкретно уравнение не е задължително да има решение в множество от $\mathbb{N}$, следователно се изисква, поради практически съображение, да се разшири множеството на естествени числа с решенията на това уравнение. Това на практика води до множеството от цели числа: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Тъй като като $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, e естествено да въведен операциите $+$ и $\cdot$ отношенията $<$ и $\leq$, които биха "онаследили" същите свойства като в множество от $\mathbb{N}$. Освен тези свойства, те притежават и две нови като допълнение:
1. $0+a=a+0=a$ има допълнителен неутрален елемент.
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ има противоположно число $-a$ спрямо числото $a$

Свойство 5. В множество $\mathbb{Z}$:
5. ако $0\leq a$ и $0\leq b$ тогава $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ е затворено относно изваждане, т.е. $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z} )$.

Рационални числа $\mathbb{Q}$

Примери за рационални числа:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}...$

Освен в споменатото уравнение, нужно е да се намери решение и на уравнения от типа $a\cdot x=b$, където $a$ и $b$ са дадени цели числа и $x$ неизвестни числа. За целта въвеждаме операция деление ($:$), и решението е $x=b:a$ или $x=\frac{b}{a}$.

Отново, проблемът, че $x$ не винаги принадлежи на $\mathbb{Z}$ е налице, следователно е нужно да се разшири множеството от решения. Следователно, множество от $\mathbb{Q}$ се въвежда, чийто елементи са $\frac{p}{q}$, където $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$.

Вижда се, че при $q=1$ множеството $\mathbb{Z}$ е подмножество на $\mathbb{Q}$.

Събиране и умножаване се разширяват до това множество по сленото правило:
$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Същевременно деленето се представя така:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

В следното множество $\mathbb{Q}$ уравнението $a\cdot x=b$ има уникално решение за всяко $a\neq 0$, докато деление с нула не е дефинирано. Това означава, че има противоположен елемент, който ние наричаме реципрочно число, изразено чрез: $\frac{1}{a}$ или $a^{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1)$

Подредбата на числата в $\mathbb{Q}$ се дефинира така:
$\frac{p_1}{q_1} < \frac{p_2}{q_2}\Leftrightarrow p_1\cdot q_2 < p_2\cdot q_1$

Множеството $\mathbb{Q}$ има едно друго важно свойство - между всеки две рационални числа има безкрайно много рационални числа, което означава, че не съществуват две съседни числа, какъвто е случая при естествените и целите числа.

Ирационални Числа $\mathbb{I}$

Примери за ирационални числа:
$\sqrt{2} \approx 1,41422135...$
$\pi \approx 3,1415926535...$

Поради факта, че между всеки две рационални числа има безкрайно много рационални числа, лесно може да се стигне до грешното твърдение, че множеството от рационални числа е толковa плътно, че няма нужда от допълнително разширяване.

Дори Питагор е достигнал до това умозаключение. Въпреки това, още съвременниците на Питагор успяли да го опровергаят, докато се опитвали да решат уравнението $x\cdot x=2$, което е $x^2=2$ в множеството от рационални числа. За да се реши това уравнение, е нужно да се въведе функцията на квадратния корен. Следователно, решението на това уравнение е $x=\sqrt{2}$. Уравнение от този тип $x^2=a$, където $a$ е дадено рационално число, и x е неизвестно число, не винаги означава, че има решение в предела на множеството от рационални числа и се налага да се разшири множеството отново.

Тези числа се наричат ирационални числа и $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$... принадлежат на това множество.

Реални числа $\mathbb{R}$

Обединението на множествата от рационални и ирационални числа е множество от реални числа. След като $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ е отново логично, че въедените аритметически операции и релации, би трябвало да се разширят в новото множество. В алгебрата, този тип структура се нарича поле и заради това казваме, че множеството от реални числа е подредено поле.

За да завършим дефиницията на реалните числа, имаме нужда от допълнителна аксиома, която определя разликата между множествата $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Нека предположим, че S е непразно подножество на множество от реални числа. Елементът $b\in \mathbb{R}$ е горната граница на множеството $S$ ако $\forall x\in S$ e вярно $x\leq b$, и тогава казваме, че множеството $S$ е ограничено. Най-малката горна граница на множеството $S$ се нарича супремум и се отбелязва чрез $\sup S$.

По аналогия въвеждаме и понятието долна граница $\inf S$
Остава следната аксиома:

Всяко непразно подмножество от реални числа, което има горна граница притежава супремум.
Също така, може да се докаже, че полето от реални числа, дефинирано така, е уникално.

Комплексни числа $\mathbb{C}$

Примери за комплексни числа:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ където $i = \sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$

Множеството на комплексните числа е множество от всички наредени двойки реални числа $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, при което действията събиране и умножаване се дефинират по следния начин:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Има разнообразни начини за изписване на комплексни числа, но най-често използвания е $z=a+ib$, който е число $(a,b)$, и числото $i=(0,1)$ се нарича имагинерна единица.

Лесно е да се покаже, че $i^2=-1$. Разширяването на множеството $\mathbb{R}$ до множество $\mathbb{C}$ позволява дефинирането на квадратен корен от отрицателни числа и точно за това е причина да се въведе множеството от комплексни числа. Също е лесно да се покаже, че подмножество на множеството $\mathbb{C}$, дефинирано като $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, изпълнява всички аксиоми на реалните числа, което означава че $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или че $R\subset\mathbb{C}$.

Множеството $\mathbb{C}$ по отношение на събиране и умножение има следните свойства:
1. Комутативност на събирането и умножението
2. Асоциативност на събирането и умножението
3. $0+i0$ е неутрален елемент при събиране
4. $1+i0$ е неутрален елемент при умножаване
5. Умножението е дистрибутивно спрямо събирането
6. Има уникален противоположен елемент при събиране и умножаване.