Геометрична прогресия

Геометрична прогресия е последователност от числа, такива че частното от всеки две последователни числа е константа, която се нарича частно.

Геометричната прогресия може да се запише по следния начин:
$aq^0=a,\ aq^1=aq,\ aq^2,\ aq^3,\ aq^4,...$
където q ≠ 0, q се, нарича частно, а a - първи член.

Примери

Геометрична прогресия с частно 2 и първи член 1 изглежда така:
1, 2, 4, 8, 16, 32,...

Геометрична прогресия с частно -1 и първи член 5 изглежда така:
5, -5, 5, -5, 5, -5, 5, -5,...

Формули

Формулата за n-тия член е:

Следователно частното се получава като:

$q = \frac{a_k}{a_{k-1}}$

Примери за геометрична прогресия в зависимост от частното

Ако частното е:

• Отрицателно, ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа.
  Пример:
  1, -2, 4, -8, 16, -32... - частното е -2, а първия член 1.

  ---

• По-голямо от 1, ще имаме клоняща към плюс безкрайност редица..
  Пример:
  1, 5, 25, 125, 625 ... - частното е 5.

  ---

• По малко от -1, ще имам 2 редици едната клоняща кам минус безкрайност, а другата към плюс безкрайност..
  Пример:
  1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 ... - частното е -5.

  ---

• Между 1 и -1, редицата ще клони към 0.
  Пример:
  4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 ... - частното е $\frac{1}{2}$
  4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 ... - частното е $-\frac{1}{2}$.

  ---

• 0, геометричната прогресия ще се състои от само от 0.
  Пример:
  4, 0, 0, 0, 0 ... - частното е 0, а първия член е 4.

  ---

Свойства

Сума на първите n члена на геометрична прогресия

Формула за намиране на сбора на първите n члена на геометрична прогресия:
$a + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}= \frac{ a_1-a_n q}{1-q} = a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

т.е.
$a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1}= a\frac{1-q^n}{1-q}$

Безкрайна намаляваща геометрична прогресия

Ако |q| < 1, тогава геометричната прогресия се нарича безкрайна намаляваща геометрична прогресия
т.е. а_n -> 0, когато n -> ∞ Сумата от членовете на такава прогресия се получава по формулата.

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots = a_1\frac{1}{1-q}$

или
$a + aq + aq^2 + aq^3 + \cdots = a\frac{1}{1-q}$

където |q| < 1

Калкулатор за геометрични прогресии

Задачи

1) Реда 2, 4, 6, 8... геометрична прогресия ли е?
Отговор: не. Числото 6 нарушава правилото

2) Ако е дадена геометрична прогресия 2, 4, 8.... На колко ще е равен 10-тия член?
Отговор: може да използваме формулата a_n = a₁ . q^n-1
a₁₀ = 2 . 2^10-1 = 2 . 512 = 1024

3) Намерете първия член и часното на геометрична прогресия ако:
a₅ - a₁ = 15
a₄ - a₂ = 6
Отговор: има 2 геометрични прогресии първата е с първи член 1 и часно 2
второто решение е -16, 1/2

Задачи за упражнение

Задача 1:
Осмият член на геометрична прогресия е 256, а частното и е 4. Да се намери първият член на прогресията.

Задача 2:
Да се определи часното и сумата от членовете на геометрична прогресия, за която
a₁ = -1,5, n = 4, a_n = 96

Задача 3:
Да се намери първия член и частното на геометрична прогресия, за която
|a₄ - a₂ = 18
|a₅ - a₃ = 36

Задача 4:
Три числа - a, b, c - обрзуват в посочения ред геометрична прогресия, а числата a, 2b и 3c образуват в посочения ред аритметична прогресия. Всяко от числата а, b, c не е 0. Да се намери частното на геометричната прогресия.

Още за геометрична прогресия

Задачи върху геометрична прогресия
Задачи върху прогресии

Форум за прогресии
Архивен форум за прогресии

Още геометрична във форума за математика