Функции: определение, графика и свойства

Ако страната на един квадрат е $x,$ лицето му е ${y=x^2}.$ На всяка дължина $x$ съответства точно едно лице $y\text{:}$ при ${x=3}$ лицето е ${y=9},$ а при ${x=0{,}5}$ е ${y=0{,}25}.$ И $x,$ и $y$ са променливи величини, но $x$ избираме свободно (всяко ${x\gt 0}$), а $y$ се получава от $x.$ Казваме, че $y$ е функция на $x.$

Числото $x$ се нарича аргумент или независима променлива, а $y$ е зависимата променлива, или стойността на функцията при даденото $x.$ За да означим, че $y$ е функция на $x,$ пишем ${y=f(x)},$ ${y=g(x)},$ ${y=h(x)}$ или ${y=y(x)}.$ Записът $f(3)$ означава стойността на функцията $f$ при ${x=3}.$

Пример. Ако ${f(x)=x^2-2x},$ то ${f(3)}={9-6}={3}$ и ${f(-1)}={1+2}={3}.$ На два различни аргумента може да съответства една и съща стойност. Обратното не е позволено: на един аргумент функцията съпоставя само една стойност.

Правилото не е задължително да бъде формула. То може да бъде таблица, графика или описание с думи. Такова общо определение на функцията се свързва с името на немския математик Дирихле (1805–1859).

На тази страница: Дефиниционно множество · Начини за задаване · Графика · Растене и намаляване · Четни и нечетни · Периодични · Ограничени · Сложна функция · Обратна функция · Решени задачи · Упражнения

Дефиниционно множество и множество от стойности

Не всяко число може да бъде аргумент на дадена функция. Да разгледаме ${f(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}}.$

• ${x=4}$ е допустима стойност на аргумента: ${f(4)}={\frac42}={2}.$ Допустимо е и ${x=5}\text{:}$ ${f(5)=\frac{4}{\sqrt5}}.$
• ${x=0}$ не е допустима стойност: знаменателят става ${\sqrt0=0},$ а на нула не се дели.
• Отрицателните числа също не са допустими. Например $\sqrt{-2}$ не е реално число.

Допустимите стойности на аргумента на тази функция са положителните числа.

Когато функцията е дадена с формула и не е казано друго, дефиниционното ѝ множество се състои от всички $x,$ за които формулата има смисъл. Затова проверяваме, че:

• всеки знаменател е различен от нула;
• изразът под корен с четен показател ($\sqrt{\phantom{x}},$ $\sqrt[4]{\phantom{x}}$ и т.н.) е неотрицателен, т.е. ${\ge 0};$
• изразът под знака на логаритъма е положителен, т.е. ${\gt 0};$
• при $\tg x$ трябва ${\cos x\ne 0},$ а при $\cotg x$ трябва ${\sin x\ne 0}.$

Функция	Дефиниционно множество
${y=\sin x}$	всички реални числа: ${(-\infty;\ +\infty)}$
${y=\ln x}$	${x\gt 0}\text{:}$ ${(0;\ +\infty)}$
${y=\sqrt{x-4}}$	${x-4\ge 0}\text{:}$ ${[4;\ +\infty)}$
${y=\frac{3x^2-1}{\sqrt{x}}}$	${x\gt 0}\text{:}$ ${(0;\ +\infty)}$
${y=\frac{3x+2}{x-3}}$	${x\ne 3}\text{:}$ $(-\infty;\ 3)\cup(3;\ +\infty)$
${y=\frac{5x}{(x-3)(x+2)}}$	${x\ne 3},$ ${x\ne -2}\text{:}$ $(-\infty;\ -2)\cup(-2;\ 3)\cup(3;\ +\infty)$
${y=(x+1)\sqrt{x-3}}$	${x-3\ge 0}\text{:}$ ${[3;\ +\infty)}$
${y=\sqrt{4-x^2}}$	${4-x^2\ge 0}\text{:}$ ${[-2;\ 2]}$

Обърнете внимание на скобите. В ${[4;\ +\infty)}$ квадратната скоба означава, че числото 4 принадлежи на множеството (${\sqrt{4-4}=0}$ е определено), а кръглата скоба означава, че краят не принадлежи (например в ${(0;\ +\infty)}$ числото 0 не е от множеството). При $-\infty$ и $+\infty$ скобата винаги е кръгла, защото те не са числа.

Множеството от стойности на ${y=x^2}$ е ${[0;\ +\infty)}\text{:}$ квадратът на число не е отрицателен, а всяко число ${c\ge 0}$ е стойност, защото ${c=\left(\sqrt{c}\right)^2}.$ Множеството от стойности на ${y=\sin x}$ е ${[-1;\ 1]}.$

Начини за задаване на функция

С формула. Например ${y=\sin x},$ ${y=\ln x},$ ${y=\frac{3x^2-1}{x+1}}.$

С няколко формули за различни части на дефиниционното множество. Например

$$f(x)=\begin{cases}\sqrt{-x}, & x\lt 0\\ 5x+1, & x\ge 0\end{cases}$$

Това е една функция, дефинирана за всяко реално $x.$ Стойностите ѝ се намират по формулата за съответната част: ${f(-4)}={\sqrt{4}}={2},$ ${f(0)}={5\cdot 0+1}={1},$ ${f(2)}={11}.$ Такава е и функцията ${y=|x|}\text{:}$ ${|x|=x}$ при ${x\ge 0}$ и ${|x|=-x}$ при ${x\lt 0}.$

С таблица. Таблицата

$x$	$-1$	$0$	$\frac12$	$1$	$2$	$3$	$3\frac12$
$y$	$0$	$2$	$-3$	$4$	$-2{,}5$	$6$	$5$

задава функция, чието дефиниционно множество се състои само от седемте числа на горния ред. Например ${y(2)=-2{,}5},$ а $y(5)$ не съществува. Таблично зададени функции се срещат, когато стойностите са получени чрез измерване.

С графика. Например линията, която уред чертае, докато измерва температурата през деня: за всеки момент $x$ температурата $y$ се отчита от графиката.

С думи. Например: „на всяко естествено число $n$ съпоставяме броя на делителите му“. Тогава ${f(6)=4}$ (делителите са 1, 2, 3 и 6), а ${f(7)=2}.$

Явни, неявни и параметрично зададени функции

Функцията е зададена явно (експлицитно), когато е дадена с равенство от вида ${y=f(x)},$ т.е. с равенство, решено относно $y.$ Например ${y=\sin x},$ ${y=x-3\sqrt{x}}$ и ${y=\ln x+5}$ са явни функции.

Ако $y$ е свързано с $x$ чрез уравнение ${F(x,\ y)=0},$ което не е решено относно $y,$ казваме, че функцията е зададена неявно (имплицитно). Например уравнението ${3y-2x+x^3=0}$ задава $y$ като функция на $x$ неявно. Ако го решим относно $y,$ получаваме явния вид ${y=\frac{2x-x^3}{3}}.$ Не всяко уравнение задава една функция: уравнението ${x^2+y^2=4}$ например задава две (вижте по-долу).

Функцията може да бъде зададена и параметрично, с две равенства

$$\begin{cases}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{cases}\qquad t\in(a;\ b),$$

където $\varphi$ и $\psi$ са известни функции на трета променлива $t,$ наречена параметър. Интервалът за $t$ може да бъде отворен, затворен или полуотворен. На всяко $t$ съответства точка ${(x;\ y)}$ от графиката. Двете равенства задават $y$ като функция на $x,$ когато на различни $t$ съответстват различни $x$ (например когато $\varphi$ е растяща или намаляваща). Иначе получаваме линия, която може да не е графика на функция: при ${x=2\cos t},$ ${y=2\sin t}$ това е окръжността ${x^2+y^2=4}.$ Например при ${x=2t},$ ${y=4t^2+1}$ имаме ${t=\frac x2}$ и ${y}={4\cdot\frac{x^2}{4}+1}={x^2+1},$ т.е. същата функция, записана явно.

Графика на функция

Следователно точката ${M(x_0;\ y_0)}$ лежи на графиката точно когато ${y_0=f(x_0)}.$ Обикновено графиката на функция е линия: права, крива или начупена.

Пример. Графиката на линейната функция ${y=ax+b}$ ($a$ и $b$ са дадени числа) е права линия. За да я начертаем, са достатъчни две нейни точки. За ${y=2x-3}\text{:}$

$x$	$0$	$2$
$y$	$-3$	$1$

Правата пресича оста $Oy$ в точката ${(0;\ -3)},$ т.е. ординатата на пресечната точка е ${b=-3},$ а оста $Ox$ пресича в точката ${(1{,}5;\ 0)},$ където ${2x-3=0}.$ Коефициентът $a$ определя наклона: при ${a\gt 0}$ правата се изкачва надясно, при ${a\lt 0}$ се спуска, а при ${a=0}$ е успоредна на оста $Ox$ (при ${b=0}$ съвпада с нея).

Точката ${A(4;\ 5)}$ лежи на тази права, защото ${2\cdot 4-3=5}.$ Точката ${B(1;\ 1)}$ не лежи на нея, защото ${2\cdot 1-3=-1\ne 1}.$

Графиката на всяка функция можете да начертаете с програмата за чертане на графики.

Еднозначни и многозначни зависимости

Функцията съпоставя на всяко $x$ една стойност. Затова всяка вертикална права пресича графиката на функция в най-много една точка. Ако някоя вертикална права пресича дадена линия в две или повече точки, тази линия не е графика на функция на $x.$

Окръжността ${x^2+y^2=4}$ не е графика на функция: при ${x=1}$ получаваме ${y^2=3},$ т.е. ${y=\sqrt3}$ или ${y=-\sqrt3}.$ В по-старите учебници такива зависимости се наричат многозначни функции, а обикновените функции — еднозначни. Многозначната зависимост може да се раздели на няколко (еднозначни) функции. Окръжността е съставена от графиките на двете функции

$$y=\sqrt{4-x^2}\quad\text{и}\quad y=-\sqrt{4-x^2},\qquad x\in[-2;\ 2].$$

По същия начин от ${y^2=5x^4+2}$ получаваме двете функции ${y=\sqrt{5x^4+2}}$ и ${y=-\sqrt{5x^4+2}}$ (двузначна зависимост), а равенството ${(y^2-6x^4)(y^2-\sin^2x)=0}$ дава четири функции: ${y=\sqrt6\,x^2},$ ${y=-\sqrt6\,x^2},$ ${y=\sin x}$ и ${y=-\sin x}$ (до четири стойности на $y$ при едно $x$).

Растене и намаляване на функция

С други думи, растящата функция приема по-голяма стойност при по-голям аргумент: графиката ѝ се изкачва, когато се движим надясно. Намаляващата функция прави обратното. Растящите и намаляващите функции се наричат монотонни.

Функцията ${y=x^2}$ намалява в интервала ${(-\infty;\ 0]}$ и расте в ${[0;\ +\infty)}.$ Линейната функция ${f(x)=ax+b}$ е растяща в интервала ${(-\infty;\ +\infty)}$ при ${a\gt 0}$ и намаляваща при ${a\lt 0}.$ Наистина, ако ${x_1\lt x_2},$ то ${f(x_2)-f(x_1)}={a(x_2-x_1)},$ а ${x_2-x_1\gt 0}.$

Растенето и намаляването се проверяват в интервал. Функцията ${y=\frac1x}$ намалява в ${(-\infty;\ 0)}$ и намалява в ${(0;\ +\infty)},$ но не е намаляваща в цялото си дефиниционно множество: ${-1\lt 1},$ а стойността ${\frac{1}{-1}=-1}$ е по-малка от ${\frac11=1}.$

Четни и нечетни функции

Едно множество от числа е симетрично спрямо нулата, ако заедно с всяко число $x$ съдържа и $-x.$ Например интервалите ${(-a;\ a)},$ ${[-a;\ a]}$ и ${(-\infty;\ +\infty)}$ са симетрични, а ${[0;\ +\infty)}$ не е.

Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста $Oy,$ а графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото ${O(0;\ 0)}$ на координатната система.

Четни са например следните функции (дефинирани за всяко $x,$ ако не е казано друго):

${y=x^2},$ ${y=\cos x}$ (защото ${\cos(-x)=\cos x}$), ${y=|x|},$ ${y=x^2+3\cos x},$ ${y=x\sin x},$ ${y=\sqrt{9-x^2}}$ при ${x\in[-3;\ 3]},$ ${y=\ln(a^4-x^4)}$ при ${x\in(-a;\ a)},$ където ${a\gt 0}.$

Нечетни са например:

${y=x^3},$ ${y=\sin x},$ ${y=\tg x},$ ${y=\cotg x},$ ${y=\arcsin x},$ ${y=x\cos x},$ ${y=2x^3+\cotg x}.$

Повечето функции не са нито четни, нито нечетни. Например за ${f(x)=x^2+x}$ имаме ${f(1)=2}$ и ${f(-1)=0},$ т.е. не е изпълнено нито ${f(-1)=f(1)},$ нито ${f(-1)=-f(1)}.$ Функцията ${y=\sqrt{x}}$ също не е нито четна, нито нечетна, защото дефиниционното ѝ множество ${[0;\ +\infty)}$ не е симетрично. Едновременно четни и нечетни са само функциите, които са равни на нула за всяко $x$ от симетричното $D\text{:}$ от ${f(x)=f(-x)=-f(x)}$ следва ${2f(x)=0}.$

Периодични функции

Ако $T$ е период, то $2T,$ $3T$ и т.н. също са периоди. Затова обикновено посочваме най-малкия положителен период (основния период), когато такъв съществува. Функциите $\sin x$ и $\cos x$ са периодични с период $2\pi\text{:}$

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x,$$

а $\tg x$ и $\cotg x$ са периодични с период $\pi\text{:}$

$$\tg(x+\pi)=\tg x,\qquad \cotg(x+\pi)=\cotg x.$$

Графиката на периодична функция се състои от еднакви части, които се повтарят. Затова е достатъчно да я начертаем в интервал с дължина $T$ (на чертежа от $0$ до $2\pi$) и после да я пренесем наляво и надясно.

Ако $f$ има основен период $T$ и ${k\gt 0},$ то функцията ${f(kx)}$ има основен период $\frac{T}{k}.$ Например ${y=\sin 3x}$ има период $\frac{2\pi}{3}\text{:}$

${\sin 3\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)}={\sin(3x+2\pi)}={\sin 3x}$

Ограничени и неограничени функции

Геометрично това означава, че частта от графиката над интервала ${(a;\ b)}$ лежи между две хоризонтални прави ${y=A}$ и ${y=B}.$ Например графиката на ${y=\sin x}$ на чертежа по-горе лежи между правите ${y=-1}$ и ${y=1},$ затова $\sin x$ е ограничена в интервала ${(-\infty;\ +\infty)}.$ Същото важи и за $\cos x.$

Ограничени са например:

Функция	Интервал	Защо
${y=\sin x},$ ${y=\cos x}$	в ${(-\infty;\ +\infty)}$	стойностите са между $-1$ и $1$
${y=\frac5x}$	в ${\left(\frac12;\ 10\right)}$	${\frac12\lt\frac5x\lt 10}$
${y=\ln(1+x)}$	в ${(0;\ c)},$ където ${c\gt 0}$	${0\lt\ln(1+x)\lt\ln(1+c)}$
${y=5x^2+x}$	във всеки интервал ${(a;\ b)}$	${|5x^2+x|\le 5M^2+M},$ където $M$ е по-голямото от числата $|a|$ и $|b|,$ т.е. ${A=-(5M^2+M)},$ ${B=5M^2+M}$

Неограничени са например:

Функция	Интервал	Защо
${y=\frac5x}$	в ${(0;\ 10)}$	при $x,$ близко до $0,$ стойностите стават колкото искаме големи: ${f(0{,}001)=5000}$
${y=\ln(1+x)}$	в ${(-1;\ c)},$ където ${c\gt -1}$	при $x,$ близко до $-1,$ стойностите стават по-малки от всяко дадено число: при ${x=-1+e^{-n}}$ стойността е $-n$
${y=\frac{2}{3-x}}$	в ${(-\infty;\ 3)}$	при $x,$ близко до $3,$ стойностите стават колкото искаме големи: ${f(2{,}999)=2000}$
${y=x^2}$	в ${(-\infty;\ +\infty)}$	няма горна граница: за всяко число $B$ имаме ${(B+1)^2\gt B}$

Функция, за която съществува число $A$ такова, че ${f(x)\ge A}$ за всяко $x,$ е ограничена отдолу. Аналогично се определя ограничена отгоре функция. Функцията ${y=x^2}$ е ограничена отдолу (${x^2\ge 0}$), но не е ограничена отгоре. Една функция е ограничена точно когато е ограничена и отдолу, и отгоре.

Сложна (съставна) функция

Функциите $x^n,$ $a^x,$ $\log_a x,$ $\sin x,$ $\cos x,$ $\tg x,$ $\cotg x$ и обратните тригонометрични функции се наричат основни елементарни функции. Повечето функции, които срещаме, се получават от тях чрез аритметични действия и чрез съставяне: на мястото на аргумента се поставя друга функция.

Сложната функция е дефинирана за онези $x,$ за които $g(x)$ съществува и принадлежи на дефиниционното множество на $f.$

Пример. Нека ${f(u)=u^2}$ и ${g(x)=3x+1}.$ Тогава

${f\bigl(g(x)\bigr)=(3x+1)^2},$   ${g\bigl(f(x)\bigr)=3x^2+1}.$

Това са две различни функции, т.е. редът на съставяне има значение. Например при ${x=1}$ първата е ${(3+1)^2=16},$ а втората е ${3\cdot 1+1=4}.$

Сложната функция може да има няколко междинни аргумента: ${y=f\Bigl(u\bigl(v(x)\bigr)\Bigr)}.$ Например ${y=\sin^2 5x}$ се получава от ${v=5x},$ ${u=\sin v}$ и ${y=u^2}.$

Как се намира производната на сложна функция, вижте в Производни на функции.

Права и обратна функция

Нека функцията ${y=f(x)}$ съпоставя на различни стойности на $x$ различни стойности на $y,$ т.е. от ${x_1\ne x_2}$ следва ${f(x_1)\ne f(x_2)}.$ Тогава всяка стойност $y$ се получава от точно едно $x,$ и правилото, което на $y$ съпоставя това $x,$ също е функция. Тя се нарича обратна функция на $f$ и се означава с $f^{-1}.$ Всяка функция, която е растяща (или намаляваща) в цялото си дефиниционно множество, има обратна.

Пример 1. За ${y=2x+3}$ разменяме $x$ и $y\text{:}$ ${x=2y+3}.$ Решаваме относно $y$ и получаваме обратната функция ${y=\frac{x-3}{2}}.$ Проверка: ${2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x}.$

Пример 2. Обратната функция на ${y=e^x}$ е ${y=\ln x}.$ Наистина, като логаритмуваме двете страни на ${x=e^y},$ получаваме ${\ln x}={\ln e^y}={y\ln e}={y}.$ Дефиниционното множество на $\ln x$ е ${(0;\ +\infty)},$ т.е. множеството от стойности на $e^x.$ Изобщо дефиниционното множество на обратната функция е множеството от стойности на правата функция, и обратно.

Графиките на две взаимно обратни функции са симетрични спрямо правата ${y=x},$ защото точката ${(a;\ b)}$ лежи на едната графика точно когато точката ${(b;\ a)}$ лежи на другата.

Пример 3. Функцията ${y=x^2}$ няма обратна в ${(-\infty;\ +\infty)},$ защото ${(-2)^2=2^2=4}\text{:}$ стойността 4 се получава от две числа. В интервала ${[0;\ +\infty)},$ където ${y=x^2}$ расте, обратната ѝ функция е ${y=\sqrt{x}}.$

Внимание: $f^{-1}(x)$ означава обратната функция, а не $\frac{1}{f(x)}.$ За ${f(x)=2x+3}$ имаме ${f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}},$ а не $\frac{1}{2x+3}.$

Калкулаторът за обратна функция намира обратната функция на зададена функция с решение стъпка по стъпка.

Решени задачи

Задача 1. Намерете дефиниционното множество на ${f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}}.$

Решение: Изразът под корена трябва да е неотрицателен: ${x+2\ge 0},$ т.е. ${x\ge -2}.$ Знаменателят трябва да е различен от нула: ${x\ne 1}.$ Следователно

${D}={[-2;\ 1)\cup(1;\ +\infty)}$

Задача 2. Намерете дефиниционното множество на ${f(x)=\lg(x^2-9)}.$

Решение: Изразът под логаритъма трябва да е положителен: ${x^2-9\gt 0},$ т.е. ${(x-3)(x+3)\gt 0}.$ Това е изпълнено при ${x\lt -3}$ и при ${x\gt 3},$ затова

${D}={(-\infty;\ -3)\cup(3;\ +\infty)}$

Задача 3. Дадена е функцията ${f(x)=x^2-3x+2}.$ Намерете $f(0),$ $f(-1),$ ${f(a+1)}$ и решете уравнението ${f(x)=0}.$

Решение: Заместваме аргумента във формулата:

${f(0)}={0-0+2}={2},$   ${f(-1)}={1+3+2}={6},$

${f(a+1)}={(a+1)^2-3(a+1)+2}={a^2+2a+1-3a-3+2}={a^2-a}.$

Уравнението ${x^2-3x+2=0}$ има корени ${x_1=1}$ и ${x_2=2}.$ Стойностите на $x,$ при които функцията е равна на нула, се наричат нули на функцията. В тези точки графиката има обща точка с оста $Ox$ (тук я пресича в ${(1;\ 0)}$ и ${(2;\ 0)}$).

Задача 4. Определете дали функцията е четна, нечетна или нито едното, нито другото: а) ${f(x)=x^4-2x^2};$ б) ${g(x)=\frac{x}{x^2+1}};$ в) ${h(x)=x^3+1}.$

Решение: И трите функции са дефинирани за всяко $x,$ т.е. в симетрично множество.

а) ${f(-x)}={(-x)^4-2(-x)^2}={x^4-2x^2}={f(x)},$ следователно $f$ е четна.

б) ${g(-x)}={\frac{-x}{(-x)^2+1}}={-\frac{x}{x^2+1}}={-g(x)},$ следователно $g$ е нечетна.

в) ${h(1)=2}$ и ${h(-1)=0}.$ Тъй като ${h(-1)\ne h(1)}$ и ${h(-1)\ne -h(1)},$ функцията $h$ не е нито четна, нито нечетна.

Задача 5. Докажете, че функцията ${f(x)=\frac1x}$ е намаляваща в интервала ${(0;\ +\infty)}.$

Решение: Нека ${0\lt x_1\lt x_2}.$ Тогава

${f(x_1)-f(x_2)}={\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}={\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}}{\gt 0},$

защото числителят ${x_2-x_1}$ и знаменателят ${x_1x_2}$ са положителни. Следователно ${f(x_1)\gt f(x_2)},$ т.е. функцията е намаляваща.

Задача 6. Намерете обратната функция на ${f(x)=\frac{x+1}{x-2}}.$

Решение: Разменяме $x$ и $y$ в ${y=\frac{x+1}{x-2}}$ и решаваме относно $y\text{:}$

${x=\frac{y+1}{y-2}}\ \Rightarrow\ {x(y-2)=y+1}\ \Rightarrow\ {xy-y=2x+1}\ \Rightarrow\ {y(x-1)=2x+1}$

Следователно обратната функция е ${f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}},$ ${x\ne 1}.$ При всяко ${x\ne 1}$ полученото $y$ е допустимо (${y\ne 2}$) и ${f(y)=x},$ а числото 1 не е стойност на $f$ (равенството ${\frac{x+1}{x-2}=1}$ би означавало ${x+1=x-2}$). Следователно множеството от стойности на $f$ е $(-\infty;\ 1)\cup(1;\ +\infty),$ т.е. точно дефиниционното множество на $f^{-1}.$

Задача 7. Дадени са ${f(x)=\sqrt{x}}$ и ${g(x)=x-4}.$ Намерете ${f\bigl(g(x)\bigr)}$ и ${g\bigl(f(x)\bigr)}$ и техните дефиниционни множества.

Решение: ${f\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt{x-4}}.$ Тя е дефинирана при ${x-4\ge 0},$ т.е. в ${[4;\ +\infty)}.$

${g\bigl(f(x)\bigr)=\sqrt{x}-4}.$ Тя е дефинирана при ${x\ge 0},$ т.е. в ${[0;\ +\infty)}.$

Задача 8. Намерете основния период на функциите: а) ${y=\cos\frac{x}{2}};$ б) ${y=\tg 3x}.$

Решение: а) $\cos x$ има период $2\pi,$ а тук ${k=\frac12},$ затова периодът е ${T}={2\pi:\frac12}={4\pi}.$ Проверка: ${\cos\frac{x+4\pi}{2}}={\cos\left(\frac x2+2\pi\right)}={\cos\frac x2}.$

б) $\tg x$ има период $\pi,$ затова ${T=\frac{\pi}{3}}.$ Проверка: ${\tg 3\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}={\tg(3x+\pi)}={\tg 3x}.$

Задача 9. Намерете множеството от стойности на ${f(x)=x^2-4x+5}.$

Решение: Отделяме точен квадрат: ${f(x)}={(x-2)^2+1}.$ Тъй като ${(x-2)^2\ge 0},$ имаме ${f(x)\ge 1}$ за всяко $x,$ и ${f(2)=1}.$ Всяко число ${c\ge 1}$ е стойност на функцията: ${f\left(2+\sqrt{c-1}\right)}={c-1+1}={c}.$ Следователно множеството от стойности е ${[1;\ +\infty)}.$ Функцията е ограничена отдолу, но не и отгоре.

Задача 10. Функцията е зададена с

$$f(x)=\begin{cases}-x, & x\lt 0\\ x^2-2x, & x\ge 0\end{cases}$$

Намерете $f(-2),$ $f(0),$ $f(1)$ и решете уравнението ${f(x)=3}.$

Решение: ${f(-2)}={-(-2)}={2},$ ${f(0)}={0-0}={0},$ ${f(1)}={1-2}={-1}.$

Уравнението решаваме поотделно за всяка част:

• при ${x\lt 0}\text{:}$ ${-x=3},$ т.е. ${x=-3}.$ То е отрицателно, значи е решение;
• при ${x\ge 0}\text{:}$ ${x^2-2x=3},$ т.е. ${x^2-2x-3=0}$ с корени $3$ и $-1.$ Условието ${x\ge 0}$ е изпълнено само за ${x=3}.$

Отговор: ${x=-3}$ и ${x=3}.$

Упражнения

Опитайте сами и след това отворете отговора.

1. Намерете дефиниционното множество на ${y=\frac{x+5}{x^2-4}}.$

${x^2-4\ne 0},$ т.е. ${x\ne\pm 2}\text{:}$ $(-\infty;\ -2)\cup(-2;\ 2)\cup(2;\ +\infty)$

2. Намерете дефиниционното множество на ${y=\sqrt{6-2x}}.$

${6-2x\ge 0},$ т.е. ${x\le 3}\text{:}$ ${(-\infty;\ 3]}$

3. Намерете дефиниционното множество на ${y=\sqrt{x}+\frac{1}{x-4}}.$

${x\ge 0}$ и ${x\ne 4}\text{:}$ $[0;\ 4)\cup(4;\ +\infty)$

4. Намерете дефиниционното множество на ${y=\lg(5-x)}.$

${5-x\gt 0},$ т.е. ${x\lt 5}\text{:}$ ${(-\infty;\ 5)}$

5. Дадена е ${f(x)=2x^2-x}.$ Намерете $f(-2)$ и $f\left(\frac12\right).$

${f(-2)}={8+2}={10},$ ${f\left(\frac12\right)}={\frac12-\frac12}={0}$

6. Лежи ли точката ${A(2;\ 7)}$ на графиката на ${y=3x+1}\text{?}$

Да, защото ${3\cdot 2+1=7}.$

7. Четна или нечетна е функцията ${f(x)=x^3-5x}\text{?}$

${f(-x)}={-x^3+5x}={-f(x)},$ следователно е нечетна.

8. Четна или нечетна е функцията ${f(x)=x^2+\cos x}\text{?}$

${f(-x)}={x^2+\cos x}={f(x)},$ следователно е четна.

9. Намерете обратната функция на ${y=5x-2}.$

${x=5y-2},$ откъдето ${y=\frac{x+2}{5}}.$

10. Дадени са ${f(x)=x+1}$ и ${g(x)=x^2}.$ Намерете ${f\bigl(g(x)\bigr)}$ и ${g\bigl(f(x)\bigr)}.$

${f\bigl(g(x)\bigr)=x^2+1},$ ${g\bigl(f(x)\bigr)}={(x+1)^2}={x^2+2x+1}$

11. Намерете основния период на ${y=\sin 4x}.$

${T}={\frac{2\pi}{4}}={\frac{\pi}{2}}$

12. Намерете множеството от стойности на ${y=x^2+2}.$

${x^2\ge 0},$ затова ${y\ge 2}.$ Всяко число ${c\ge 2}$ е стойност, защото ${c=\left(\sqrt{c-2}\right)^2+2}.$ Отговор: ${[2;\ +\infty)}$