Функция, функции

Ако означим с х страната на един квадрат, а с у лицето му, знаем, че съществува зависимостта у = х₂, в която на х бихме могли да даваме произволни положителни стойности, а лицето у изчисляваме от горното равенство. Тук както страната х, така и лицето у са променливи величини. В случая х е независима променлива или аргумент, а променливата у, чиито стойности се изчисляват и се нарича зависима променлива или функция на х.

Зависимостите у = sinx; у = lnx; у = (3х₂ - 1)/(x + 1)
също определят у като функция на аргумента х В общия случай, за да означим, че у е функция на х, употребяваме някое равенство от вида:
у = f(x); у = g(x); у = f(x); у = у(х) Допустима стойност на аргумента х е всяко реално число х₁, за което функцията f(x) получава реална и напълно определена стойност, т.е. f(x₁) е едно определено реално число.

Например числото х₁ = 5 е допустима стойност за функцията f(x) = 4/(√x), защото f(5) e равно на реалното число 4/√5; стойността х₂ = 0 е недопустима за аргумента на разглежданата функция, защото имаме f(x₂) = f(0) = 4/√0 = 4/0 неопределена величина.

Също така недопустими стойности са всички отрицателни числа, защото, ако х₃ f(x₃) = 4/√x₃ = 4/√-2 ще бъдат нереални числа. И така за аргумента х на разглежданата функция f(x) = 4/√x допустими стойности са само положителните числа.
Съвкупността от всички допустими стойности за аргумента х на една функция у се нарича дефинационна област на тази функция.
Дефиниционните области в следните примери са:

Правилото може да бъде дадено не само чрез едно, но две, три равевнства, или с някаква таблица, графика. Така например функцията у е дефинирана със следните две равенства:
y = √0 – х за х ∈ (-∞, 0)
y = 5х + 1 за х ∈ (0, +∞),
и стойностите и се определят именно от тези две равенства.
Ето пример за една таблично зададена функция, у:

Явни, неявни функции

Явна (експлицитна), когато се дефинира чрез равенство от вида: y = f(x), т.e. равенство, което е решено спрямо у. Например явни са следните функции:
y = sinx, y = x - 3vx, y = lnx + 5
Aкo дефиниционното равенство на функцията у не е решено спрямо у , а именно y = f(x,у) = 0 то функцията е неявна(имплицитна).
Например: 3у² - 2x + x³ = 0 ; y⁴ - sinx = 0 са неявни. Една неявна функция може да се обърне в явна, когато можем да превърнем дефинационното равенство от нерешено спрямо у в решено спрямо у.

Прави и обратни функции

Функциите биват прави и обратни.
Ако приемем, че функцията f(x) е права, то за да получим обратната функция на f(x), постъпваме така: в равенството y = f(x), заменяме х с у и у с х и получаваме х = f(у), след това решаваме това равенство спрямо у: у = g(x) Така получената функция g(x) се нарича обратна на правата функция f(x), обаче може да се каже и обратното, т.е. че g(x) е права, а f(x) обратна функция.

Например, ако e^x е правата функция, то обратната й ще бъде ln x, защото имаме последователно
у = e^x; х = e^у; ln e^у = ln x или y ln e = ln x; т.е. у = ln x

Еднозначни и многозначни функции

Функциите биват още еднозначни и многозначни. Една функция f(x), наричаме еднозначна, когато на всяка допустима стойност на х отговаря една и само една реална стойност на у.
Например функциите у = cos x, y = ln x, y = 5x² - 3sin x са еднозначни.
Ако на една допустима стойност на х отговарят две или повече реални стойности на една функция, то функцията е многозначна.

Например многозначни са функциите
у² = 5х⁴ + 2
(у² - 6х⁴)(у² - sin²x) = 0
Първото от тези равенства ни дефинира двузначна функция, второто четеризначна.

Ограничени, неограничени функции

Функциите на един аргумент (от друга гледна точка) се делят на ограничени и неограничени в даден интервал (а, b).
Функцията f(x), казваме че е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две числа А, В такива, че А ≤ f(x) ≤ В за всяко х ∈( а, b).
С други думи, функцията f(x) е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две успоредни на абсцисната ос прави у = А и у = В такива, че частта от графиката на f(x), лежаща над (или под) интервала (а, b), е заключена между тях. В противен случай, функцията f(x),се смята за неограничена в интервала (а, b).

Така например следните функции са ограничени в посочените интервали:

Четни, нечетни и функции

Функциите се делят още на четни, нечетни и функции, които са нито четни нито нечетни. Функцията f(x), дефинирана в интервала (-а, +а) където а е дадена положителна константа, се нарича четна, ако за всяко х от този интервал е в сила равенството:
f(- x) = f(x)

Така например функцията cos x е четна, защото е дефинирана в интервала
(-∞, +∞) и за всяко х от този интервал е в сила равенството cos(-x) = cos x
Eто още няколко примера за четни функции
y = |х| с дефиниционен интервал (-∞, +∞)
y = х² + 3cos(x) където x ∈ (-∞, +∞)
y = x.sin(x) където x ∈ (-∞, +∞)
y = √(9 - x) където x ∈ (-3, +3)
y = ln (a ⁴ - x ⁴ където x ∈ (-a, +a) където а е дадено положително число.
Известни е, че графиката на една четна функция е симетрично разположена спрямо ординатната ос. Функцията f(x), която е дефинирана в интервала (-а, +а), където а(a > 0) е дадена константа, се нарича нечетна, когато за всяко х ∈(-а, + а) е в сила равенството f(-x) = - f(x).
Така например нечетни са следните функции:
sin(x), tg(x), cotg(x), arcsin(x), x³, x.cos(x), 2x³ + cotg x
Графиката на една нечетна функция е симетрично разположена спрямо началото О (0, 0) на координатната система.

Периодични функции

Функцията f(x), наричаме периодична с период w (w е дадено положително число), ако за всяка допустима стойност на х е в сила равенството f(x) = f(x + w).

Така например функциите sin x, cos x са периодични с период 2π, защото за всяко реално х са в сила равенствата:

Равенствата, показват, че tg x и cotg x са периодични с период π.

Прости и съставни функции

Функциите се разделят още на прости и съставни. Ако f(u) e проста функция на променливата u, a и u e функция на х, т.е. u = u(x), то тогава функцията у = f[u(x)] e сложна(съставна) функция на х (или функция от функция).

За сложната функция у = f[u(x)], функцията u(x) се нарича неин междинен аргумент. Една съставна функция може да има не само един, а няколко междинни аргумента.

Например: f₁{u[v(x)]} За една функция у на х се казва, че е параметрично зададена ако е дефинирана с две равенства от вида:

kъдето f и z са познати функции на една независима променлива t, която се нарича параметър и която се мени в даден интервал (а, b) Интервалът може да бъде затворен, отворен или полузатворен

Растение, намаляване на функция

Ако f(x) е една функция, дефинирана в D, то:
f(x) е растяща в D, ако за х₁, x₂ от D и х₁ < x₂ имаме
f(х₁) < f(x₂)

f(x) е намаляваща в D, ако за х₁, x₂ от D и х₁ < x₂ имаме
f(х₁) > f(x₂)

Функции във форума

Форум за функции
Форум за функции - архив